Баев Теория колебаниы 2015

периодическому процессу. Кривая 2 на рис. 2.3.1 – пример неустойчивого предельного цикла.

Помимо рассмотренных выше особых точек фазовой плоскости типа «центр» и типа «седло», изображенных на рис. 1.6, часто встречаются и другие их разновидности.

На рис. 2.3.2 изображены затухающие и нарастающие колебания и соответствующие им фазовые траектории. На рис. 2.3.2,в и 2.3.2,е представлены семейства фазовых траекторий, отличающихся начальными условиями.

Начало координат на рис. 2.3.2 является особой точкой фазовой плоскости, которую называют устойчивым или неустойчивым фокусом.

Рис. 2.3.2. Особые точки фазовой плоскости типа «фокус»

На рис. 2.3.3 изображены кривые для затухающего и нарастающего апериодического процесса и соответствующие им фазовые траектории. Фазовые траектории семейств, представленных на рис. 2.3.3,в и 2.3.3,е, отличаются начальными условиями.

Начало координат на рис. 2.3.3 является особой точкой фазовой плоскости, именуемой устойчивым или неустойчивым узлом.

161

Построения на фазовой плоскости можно проводить для: а) мгновенных значений величин; б) огибающих амплитуд колебаний; в) медленно меняющихся средних значений.

Для мгновенных значений подобные построения проводят с целью исследования: а) устойчивости точек равновесия; б) возможности возникновения автоколебаний; в) устойчивости возникающих автоколебаний и определения их амплитуд; г) влияния начальных условий на возникающие в системе процессы.

Допустим, что для некоторой системы по мгновенным значениям построены фазовые траектории, изображенные на рис. 2.3.1.

Спрашивается, какие заключения качественного свойства могут быть сделаны в отношении возможных процессов в этой системе при тех значениях ее параметров, для которых эти траектории построены.

x

y

Рис. 2.3.3. Особые точки фазовой плоскости типа «узел»

Прежде всего, убеждаемся в том, что в системе возможно лишь одно устойчивое состояние равновесия – начало координат. Далее

162

констатируем, что на фазовой плоскости есть один устойчивый предельный цикл (кривая 1) и один неустойчивый (кривая 2).

устойчивого равновесия. Если же начальные значения x и I будут таковы, что изображающая точка попадет в область, находящуюся

процесс, в результате которого система придет в состояние

снаружи кривой 2, то в результате переходного процесса возникнут автоколебания – изображающая точка будет двигаться по устойчивому предельному циклу (кривая 1).

Таким образом, про исследуемую систему можно сказать, что она будет находиться в состоянии либо устойчивого равновесия, либо режима устойчивых автоколебаний. Какой из этих режимов возникает в системе, зависит от начальных условий.

Ниже, в параграфах, посвященных примерам приложений теории колебаний к решению различных задач, содержится материал, довольно наглядно иллюстрирующий эффективность метода фазового пространства.

2.3.2. Метод усреднения по быстрым осцилляциям

Рассмотрим движение системы, находящейся в силовом поле, определяемом потенциальной функцией U и, кроме того,

1 функции, зависящие только от координат.

Пусть T период колебаний, которые совершает система, двигаясь в силовом поле U. Сделаем два допущения, в рамках которых рассмотрим движение системы. Во-первых, будем считать частоту изменения силы достаточно большой, чтобы выполнялось условие

2.3.2

и, во-вторых, будем считать возмущения системы силой достаточно малыми, чтобы можно было ограничиться линейным приближением

Выражение (2.3.4) и условия (2.3.5), (2.3.6) означают, что движение системы представляется состоящим из двух компонент.

Одна компонента,( , описываемая функцией j , мало меняется за время > так что с достаточной степенью точности считается справедливым выражение (2.3.6). Можно сказать, что функция

j

описывает усредненное по быстрым осцилляциям, плавное движение системы. Вторая компонента решения (2.3.4), представляемая

функцией ξ , как раз и является теми быстрыми осцилляциями, о которых шла речь выше и которые накладываются на усредненное

плавное движение системы. Эта |компонентаξ | q 1 вызвана силой , причем согласно принятому допущению .

164

Подставив функцию (2.3.4) в уравнение (2.3.3), разложив его

Выражение (2.3.8) можно рассматривать как комбинацию из двух дифференциальных уравнений: одного – для плавного, усредненного движения и другого – для быстро осциллирующего движения.

Выделим из уравнения (2.3.8) часть, описывающую быстро

В правую часть этого уравнения вошла только одна из трех быстро осциллирующих функций правой части исходного уравнения (2.3.8),

165

осциллирующие силы, действующие на систему. Если выражение (2.3.13) для эффективной энергии объединить с выражением (2.3.10),

определяемое кинетической энергией быстро осциллирующего движения.

В качестве примера рассмотрим систему, представляющую маятник с колеблющейся вертикально точкой подвеса. Вертикальные

166

колебания точки подвеса описываются функцией cosω . Как следует из функции Лагранжа этой системы, вертикальные колебания точки

подвеса приводят к появлению в уравнении ее движения переменной силы

В соответствии с выражением (2.3.13) эффективная потенциальная функция рассматриваемой системы принимает вид

То, что обе эти точки равновесия являются устойчивыми, можно убедиться, взяв вторую производную от эффективнойφ потенциальной энергии , причем вторая точка равновесия будет устойчивой

при условии

2.3.22

условии (2.3.22) появляется еще одна точка устойчивого равновесия, которая в зависимости от значения параметров маятника может иметь значения из интервала (2.3.23). Задача решена.

2.3.3. Укороченные уравнения

аналогий, рассуждая следующим образом. Из-за малости параметра ε можно допустить, что общее решение данного уравнения внешне

анализа этой математической модели снова воспользуемся методом

сохранит вид решения уравнения гармонического осциллятора, однако чтобы обобщить его на искомое решение, положим, что амплитуда колебаний уже не константа, а некая пока неизвестная функция времени, которая изменяется тем медленнее, чем меньше

В использовании аналогии с гармоническим осциллятором пойдем еще дальше, наложив на искомое решение следующее условие, которому удовлетворяют решения уравнения гармонического

168

осциллятора, а именно: потребуем, чтобы искомое решение удовлетворяло требованию

Дифференцируя далее функцию (2.3.26) и подставив получившуюся вторую производную в исходное уравнение (2.3.24),

получим еще одно уравнение:

ωsinφ ωφcosφ ω cosφ ε cosφ, ωsinφ . 2.3.28

переход в правых частях выражений (2.3.29), (2.3.30) к их