60 |
Определение средней длины свободного пробега и |
|
эффективного диаметра молекул воздуха |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7: Определение средней длинны свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха
Цель работы: изучение явления внутреннего трения в газах.
Оборудование: специальная сосуд с капилляром, закрепленный в штативе, измерительная мензурка, линейка.
Краткая теория
Находясь в непрерывном тепловом движении, молекулы газа весьма часто (порядка 109 раз в секунду при нормальных условиях) сталкиваются друг с другом. Минимальное расстояние, на которое сближаются при соударении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы.
За время между двумя последовательными столкновениями
молекула в среднем |
проходит |
путь |
, который называется средней |
длиной свободного |
пробега. |
В |
соответствии с молекулярно- |
кинетической теорией d и связаны соотношением:
где
n
|
1 |
|
, |
|
2 d |
2 |
|||
|
n |
|||
|
|
– концентрация молекул газа.
(7.1)
За счет участия в хаотическом тепловом движении молекулы газа переходят из одних точек пространства в другие, перенося с собой присущие им массу, энергию и импульс. Это обусловливает возможность существования в газе явлений переноса, а именно диффузии, теплопроводности и внутреннего трения, которые обусловлены неодинаковостью в различных точках пространства соответственно концентрации молекул данногог сорта, средней кинетической энергии молекул и импульса, связанного с их направленным движением.
В частности, явление внутреннего трения проявляется в том, что, если скорость u направленного движения молекул в потоке газа меняется от слоя к слою, то на границе между двумя слоями действует сила
где
F |
du |
S , |
|
dz |
|||
|
|
– коэффициент внутреннего трения в газе;
(7.2)
du
dz
– градиент скорости в направлении оси z,
перпендикулярной к поверхности раздела слоев;
Определение средней длинны свободного пробега и |
|
|
61 |
|||||||||||||
|
|
эффективного диаметра молекул воздуха |
|
|
|
|||||||||||
|
S – площадь поверхности, к которой приложена сила F . |
|||||||||||||||
Коэффициент внутреннего трения определяется выражением |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0,5 v , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.3) |
||
где |
|
– плотность газа; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
– средняя скорость теплового движения молекул. |
|
|
|
|||||||||||
На основе формул (7.2) и (7.3) можно получить соотношения, |
||||||||||||||||
позволяющие по экспериментально измеряемым макроскопическим |
||||||||||||||||
величинам вычислять микроскопические параметры |
|
и |
d . |
|
|
|
||||||||||
|
Методика проведения измерений и описание |
|
|
|
||||||||||||
|
|
экспериментальной установки |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Экспериментальная установка (рис. 7.1) состоит из закрепленного |
||||||||||||||||
|
|
|
в штативе (не показан) стеклянного баллона 1, |
|||||||||||||
2 |
|
3 |
с пробкой 2, |
в |
которую |
вставлена |
тонкая |
|||||||||
|
|
трубка (капилляр) 3. В нижней части баллона |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
установлен кран 4, через который вода из |
|||||||||||||
|
|
6 |
баллона |
может |
|
вытекать |
в |
мензурку |
5, |
|||||||
|
|
предназначенную |
для |
|
измерения |
объема |
||||||||||
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
вытекшей воды. На боковой поверхности |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
баллона закреплена линейка 6, позволяющая |
|||||||||||||
|
|
|
зафиксировать изменение высоты столба воды |
|||||||||||||
|
|
4 |
в баллоне. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем поток газа |
Q |
через поперечное |
|||||||||||
|
|
5 |
сечение капилляра рисунок 7.2 (т.е. объем |
|||||||||||||
|
|
газа, проходящий через сечение в единицу |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
времени |
Q dV dt ) |
|
при |
установившемся |
|||||||||
|
|
|
течении. Выделим в газе цилиндр радиуса r и |
|||||||||||||
|
Рис. 7.1 |
длины l . |
В стационарных условиях на торцах |
|||||||||||||
|
|
|
цилиндра |
существует |
разница |
давлений |
|
p . |
||||||||
Поэтому на выделенный цилиндр действует сила давления |
r |
2 |
p , |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
которая уравновешивается силой трения со стороны наружных слоев |
||||||||||||||||
газа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
p |
du |
2 rl . |
|
(7.4) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
d r |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
du |
p |
rdr |
|
|
|
|
|||||
|
|
l |
|
|
2l |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(7.5) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Рис. 7.2 |
Интегрируя (7.5), находим: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 Определение средней длинны свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха
u |
p |
r |
|
|
2 |
|
4l |
|
С
.
(7.6)
Чтобы найти капилляра, т.е. нуль:
u
константу
при r R |
, |
|
R |
p |
|
4l |
|
|
|
|
|
интегрирования учтем, что на поверхности скорость направленного движения обращается в
R |
2 |
С 0 |
|
C |
p |
2 |
. |
(7.7) |
|
4l |
R |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, зависимость скорости от расстояния круглого капилляра имеет вид:
u r |
p |
R 2 r 2 . |
|
|
||||
4l |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Объем газа, проходящий в секунду через площадку |
||||||||
коаксиального капилляру кольца радиусом r |
и шириной dr |
|||||||
dV u2 rdr |
p |
R |
2 |
r |
2 |
rdr . |
||
|
|
|||||||
2l |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
до оси
(7.8)
ввиде
(7.9)
Поток газа
Q
через все сечение капилляра найдем, интегрируя (7.9) в
пределах от 0 до R:
|
|
Q |
p |
R |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
8l |
. |
(7.10) |
|
|
|
|
||
Соотношение (7.10) называется формулой Пуазейля. |
|
||||
время |
Очевидно, что при установившемся течении объем V |
вытекшей за |
|||
t |
воды равен объему, который займет в баллоне газ, вошедший в |
||||
|
|
|
|
|
|
него через капилляр. Будем считать процесс изотермическим и пренебрежем изменением объема газа при переходе в баллон. В стационарном состоянии поток газа равен отношению объема вытекшей
воды ко времени наблюдения |
t |
. Поэтому |
|
|
V |
|
p |
R |
4 |
|
p |
R |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
|
8l |
|
|
|
4l v |
|
|
|
|
p |
|
4l vV |
||
|
4 |
t |
R |
.
(7.11)
Плотность газа в (11) выразим из уравнения Менделеева-Клапейрона:
|
pM |
и учтем, что v |
8R |
T |
|
|
|
|
|||
|
|
г |
|
. Тогда |
|
|
|||||
R |
T |
M |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
4 |
R T |
pt |
|
pt |
|
|
|
|
|
|
|
или A |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
, |
||
|
|
|
8l p |
2M |
V |
V |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
R4 |
R T |
|
где A 8l p |
г |
константа эксперимента. |
2M |
(7.12)
Формулу для вычисления d получим из (7.1), воспользовавшись
Определение средней длинны свободного пробега и |
63 |
эффективного диаметра молекул воздуха |
|
тем, что, в соответствии с соотношением
p
nkT
,
n n |
0 |
|
pT |
|
|
0 |
p |
T |
0 |
|
,
(7.13)
где n0 2,687 1025 м –3 число Лошмидта, концентрация молекул при нормальных условиях;
p0 ,T0 давление и температура при нормальных условиях; p,T давление и температура в условиях эксперимента.
Тогда получаем расчетную формулу в виде:
d |
p T |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 n |
pT |
|
0 |
0 |
.
(7.14)
При выполнении работы необходимо проводить измерения в установившемся режиме вытекания воды. Для этого следует после открывания крана выждать некоторое время, пока вода не начнет вытекать каплями. Перепад давления на концах капилляра определяется
высотой h |
столба воды в баллоне (от верхнего уровня до кончика крана) |
p в gh, |
в плотность воды. Очевидно, что при вытекании воды |
p изменяется, и для расчетов следует взять его среднее значение. |
|
Порядок выполнения работы
1.Наполните баллон водой в таком объеме, чтобы к окончанию вытекания воды можно было бы по линейке отсчитать высоту столба воды в баллоне.
2.Откройте кран и, дождавшись установившегося режима вытекания воды, подставьте под кран мензурку, включите секундомер и отметьте начальный уровень воды в баллоне.
3.После вытекания в мензурку приблизительно 100 см3 воды закройте кран, остановите секундомер и занесите результаты измерений
втаблицу 7.1.
4.По приборам в лаборатории зафиксируйте давление и температуру в момент измерений. Запишите параметры лабораторной установки, необходимые для расчета константы эксперимента А.
Т а б л и ц а |
7.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
V ( см3 ) |
|
t (c) |
hнач (мм) |
hкон (мм) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 Определение средней длинны свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха
Обработка результатов измерений
По данным таблицы 7.1 и формулам (7.12) |
и (7.14) рассчитайте |
d . Оцените погрешность измерений. |
|
Контрольные вопросы |
|
и
1.Сформулируйте определения эффективного диаметра и средней длины свободного пробега молекул.
2.Является ли эффективный диаметр строго заданным параметром молекул данного сорта? Объясните почему. От каких параметров газа зависит эффективный диаметр? Почему?
3.В чем заключаются явления переноса, какова их природа и почему они так называются?
4.Чем определятся величина силы трения между слоями газа?
5.Что такое градиент скорости? Куда направлен градиент скорости направленного движения молекул газа в капилляре?
6.Почему при нормальных условиях коэффициент внутреннего трения не зависит от давления газа?
7.Почему можно считать, что на поверхности капилляра скорость молекул газа обращается в нуль? Как это условие использовано при выводе расчетных формул?
8.Нарисуйте примерный вид графика зависимости скорости молекул газа от расстояния до оси капилляра.
9.Оцените погрешность, допущенную вследствие пренебрежения изменением объема газа при его переходе внутрь баллона.
10.Выведите формулу Пуазейля.
11.Выведите расчетные формулы (7.12) и (7.14).
12.Объясните, почему в первый момент после открывания крана вода вытекает существенно быстрее?