Упражнения

1. Известно, что длина отрезка х при единичном отрезке е выражается дробью . Как могла получиться такая дробь при измерении длины отрезка х? Существуют ли другие дроби, выражающие длину отрезка х при том же единичном отрезке е?

2. Выберите единицу длины и постройте отрезок, длина которого выражается дробью: а) 15/4; б) 17/3; в) 4/7 .

3. Как установить, равны ли дроби:

а) и б) и ?

4. На множестве дробей í, , , , , ý задано отношение равенства. Постройте граф этого отношения. Каковы особенности этого графа? С чем они связаны?

5. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю.

а) 1/3 и 1/102, б) 7/16 и 5/844, в) 15/171 и 23/270.

6. Найдите несократимую дробь, равную следующей:

а) 108/144, б) 402/455, в) 780/2730.

3. Арифметические действия над рациональными числами. Сумма, произведение, разность, частное рациональных чисел. Законы сложения и умножения.

4. Свойства отношения «меньше» на множестве рациональных чисел.

95. Положительные рациональные числа

Отношение равенства является отношением эквивалентностина множестве дробей, поэтому оно порождает на нем классы эквива­лентности. В каждом таком классе содержатся равные между собой дроби. Например, множество дробейí, , , , …ý - это один класс, множество дробейí, , , , …ý - это другой класс и т.д.

Дроби одного класса выражают длину одного и того же отрезка. Но длина отрезка должна представляться единственным числом. По­этому считают, что равные дроби - это различные записи одного и того же положительного рационального числа.

Определение.Положительным рациональный числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа.

Например, о дроби мы должны говорить, что она является за­писью некоторого рационального числа. Однако часто для краткости говорят: это рациональное число.

Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q+. Определим на этом множестве отношение равенства.

Определение.Если положительное рациональное число а представлено дробью, а положительное рациональное число b - другой дробью , то а = b тогда и только тогда, когда

mq = пр.

Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются равными дробями. Среди всех записей любого поло­жительного рационального числа выделяют дробь, которая является несократимой, и доказывают, что любое рациональное число представимо единственным образом несократимой дробью (мы это дока­зательство опускаем). Для того чтобы рациональное число представить несократимой дробью, достаточно числительmи знаменательnразделить на их наибольший общий делитель.

Выясним теперь, как определяются арифметические действия с по­ложительными рациональными числами.

Пусть при некотором единичном отрезке е длина отрезкахвыражается дробью, а длина отрезка у – дробью, и пусть отрезокzсостоит из отрезковхиу. Тогдаn-ая часть отрезкаеукладывается в отрезкеz m + p раз, т.е. длина отрезкаzвыражается дробью.

Поэтому полагают, что +=.

Определение.Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b - дробью , то их суммой называется число а + b, которое представляется дробью .

Таким образом, по определению

+ =.

Можно доказать, что при замене дробей и, представляющих числааиb, равными им дробями, дробьзаменяется равной ей дробью. Поэтому сумма рациональных чисел не зависит от выбора представляющих их дробей.

В определении суммы рациональных чисел мы использовали их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа аиbпредставлены дробями с различными знаменателями, тоcначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применять правило (1).

Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,

("а, bÎQ+)а + b = b + а;

("а, b, сÎQ+) (а + b)+ с = а + (b + с).

Коммутативность сложения положительных рациональных чисел вы­текает из коммутативности сложения натуральных чисел.

Прежде чем сформулировать определение умножения положитель­ных рациональных чисел, рассмотрим следующую задачу: известно, что длина отрезка X выражается дробью при единице длиныЕ, а длина единичного отрезка измерена при помощи единицыЕ₁и выра­жается дробью. Как найти число, которым будет представлена длина отрезка X, если измерить ее при помощи единицы длиныЕ₁?

Так как Х = ∙Е, топ∙Х=m∙Е, а из того, что Е =∙Е₁ следует чтоq∙Е = р∙Е₁.Умножим первое полученное равенство наq, а второе – наm. Тогда (пq)∙Х=(mq) ∙Еи(mq) ∙Е=(mq) ∙ Е₁, откуда(пq)Х= (тр)Е₁ .Это равенство показывает, что длина отрезкахпри единице длины Е₁

выражается дробью , а значит,•=, т.е. умножение дробей связано с переходом от одной единицы длины к другой при изме­рении длины одного и того же отрезка.

Определение.Если положительное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b - дробью , то их произведением называется число аb, которое представляется дробью .

Можно доказать, что при замене дробей и, представляющих числааи b, равными им дробями, дробьзаменяется равной ей дробью. Поэтому произведение чиселаиbне зависит от выбора представляющих их дробей.

Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивноотносительно сложения и вычитания. Доказательство этих свойств основывается на определении умножения и сложения положительных рациональных чисел, а также на соот­ветствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел.

Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q+.

Определение.Пусть а и b - положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а = b + с.

В этом же случае считают, что число абольше числаb. Пишутb< а, а > b.

Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства.

1. Отношение «меньше» на множестве Q+ антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка, а множествоQ+ упорядоченным множеством.

2. Если рациональные числа а и bпредставлены дробямии, (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то а <bв том и только в том случае, когдаm < р.

3. Если рациональные числа а и bпредставлены дробямии, (т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то а <bв том и толь­ко в том случае, когдаmq < пр.

4. В множестве положительных рациональных чисел нет наименьшего числа.

5. Между любыми двумя различными числами а и bизQ+ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство называют свойством плотности множестваQ+.

6. В множестве положительных рациональных чисел нет наибольшего числа.

Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удов­летворяет условию: а - b = стогда и только тогда, когдаа = b + с.

Разность а-bположительных рациональных чисел существует тог­да и только тогда, когдаb< а. Если разностьа-bсуществует, то она единственна.

Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел, представленных дробями и, гдеm < р:

- =,

Деление положительных рациональных чисел определяется как опе­рация, обратная умножению, т.е. это такая операция, которая удовле­творяет условию: а: b= с тогда и только тогда, когда а =bс.

Из этого определения и правила нахождения произведения положи­тельных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями и:

: =

Из этого правила следует, что частное положительных рациональ­ных чисел всегда существует.