Упражнения

1. Приведите примеры отношений, существующих между:

а) натуральными числами;

б) прямыми на плоскости;

в) треугольниками;

г) множествами.

2. На множестве X = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} задано отношениеR. Перечислите пары чисел, связанных этим отношением и постройте его граф, если:

а) R - «x- большеу в 3 раза»;

б) R- «xбольшеу на 3».

3.Запишите в виде равенства предложение:

а) Число xменьшеу на 2.

б) Число xменьшеу в 2 раза.

4.Задает ли на множествеX = {2, 4, 6, 8} какое-либо отношение следующее множество упорядоченных пар:

а) {(2,2), (4,4), (6, 6), (8, 8)}; б) {(4, 2), (6, 4), (8, 6), (2, 1)}?

5.На множествеX = {2,4, 6, 8} рассматриваются отношения «х=у», «х:у» и «хбольшеу на 2». Какое из приведенных ниже подмножеств множестваХ х Х задает данные отношения:

а) {(4,2), (6, 2), (8, 2), (6,4), (8, 4), (8, 6), (2,2), (4, 4), (6, 6), (8, 8)};

б) {(4,2), (6,4), (8,6)};

в) {(2,2), (4,4), (6,6), (8, 8)}.

6. Отношение «x≥y»рассматривается на множествеХ. Каким будет его график на координатной плоскости, если:

а) X ={2,4, 6, 8};

б)Х– множество натуральных чисел;

в) Х– множество действительных чисел?7.На множестве отрезков (рис.95) задано отношениеР: «отрезок х длиннее отрезка у». Постройте граф этого отношения и задайте различными способами отношение, обратное данному.

8.ОтношениеS на множестве действи­тельных чисел задано при помощи графика (рис. 96). Постройте график отношения, обратного данному.

9.Семья Волковых состоит из отца Михаила Петровича, матери Веры Ивановны и детей: Толи, Кати, Андрея и Оли. Между членами семьи существуют различные отношения родства: «быть матерью»; «быть дочерью»; «быть братом» и другие. Постройте графы указанных отношений и назовите другие, которые существуют между членами семьи Волковых. Есть ли среди них взаимно обратные?

10. На рисунке 97 дан граф отношения «быть братом» на множестве детей, живущих в одном доме (дети обозначены точками А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З). Кто из них является девочкой, а кто мальчиком?

11. Решите арифметическим методом задачу, предварительно выде­лив все отношения, которые в ней рассматриваются:

а) На одной полке было в 3 раза больше книг, чем на другой. Ког­да с первой полки сняли 8 книг, а на другую положили 5 книг, то на второй полке стало на 17 книг меньше, чем на первой. Сколько книг было на каждой полке?

б) На автобазе было на 46 грузовых машин больше, чем автобусов. Сколько грузовых машин было на автобазе, если их было в 3 раза больше, чем автобусов?

Лекция 21. Свойства отношений

План

1. Свойство рефлексивености

2. Свойство симметричности

3. Свойство транзитивности

48. Свойства отношений

Мы установили, что бинарное отношение на множествеX пред­ставляет собой множество упорядоченных пар элементов, принад­лежащих декартову произведениюX х Х. Это математическая сущ­ность всякого отношения. Но, как и любые другие понятия, отноше­ния обладают свойствами. Их удалось выделить, изучая различные конкретные отношения. Свойств достаточно много, в нашем курсе мы будем изучать только некоторые.

Рассмотрим на множестве отрезков, представ­ленных на рис. 98, отношения перпендикулярно­сти, равенства и «длиннее». Построим графы этих отношений (рис. 99) и будем их сравнивать. Ви­дим, что граф отношения равенства отличается от двух других наличием петель в каждой его вершине. Эти петли - результат того, что отно­шение равенства отрезков обладает свойством: любой отрезок равен самому себе. Говорят, что отношение равенства обладает свойством рефлек­сивности или просто, чтооно рефлексивно.

Определение. Отношение R на множестве X называется рефлексив­ным, если о каждом элементе множества X можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.

Используя символы, это отношение можно записать в таком виде: