5. Объединение множеств
Пусть даны множества А = {2, 4, 6, 8}, В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество D,
в которое включим элементы, принадлежащие хотя бы одному из данных множеств, т.е. множеству А или множеству В: D= {2, 4, 6, 8, 5, 7, 9}. Полученное множество называютобъединением множеств А и В.
Определение: Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
Объединение обозначают А ∪В. По определению А∪В = {х׀х ∈А или х∈В}.
Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объединение данных множеств изобразится заштрихованной областью.
Выясним, как находить объединение множеств в конкретных случаях.
Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А ∪В, достаточно перечислить элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
Если множества заданы характеристическими свойствами, то характеристическое свойство множества А ∪В составляется с помощью союза «или» из характеристических свойств множеств А и В. Например: множество А – четных натуральных чисел, множество В – двузначных чисел. Тогда множество А∪В – множество чисел, характеристическое свойство которых – «быть четным натуральным или двузначным числом».
Рассмотрим случай, когда находят объединение множества А и его подмножества В. Легко видеть, что тогда А ∪В = А и, следовательно, характеристическое свойство элементов множества А∪В будет таким, как и свойство элементов множества А.
Умение вычленять множества в текстовых задачах и операции, которые над ними выполняются, - важный этап в их решении. Например, чтобы правильно выбрать действие, с помощью которого решается задача: «В букете 3 ромашки и 4 колокольчика. Сколько всего цветков в букете?», надо понять, что в задаче рассматриваются два множества – множество ромашек (3 элемента) и множество колокольчиков (4 элемента); эти множества объединены в одно и требуется найти число элементов в этом объединении.
6. Свойства пересечения и объединения множеств
Из школьного курса математики известно, что операция, при помощи которой находят сумму чисел, называется сложением. Над числами выполняются и другие операции, например, умножение, вычитание, деление; при этом результаты называют произведением, разностью, частным соответственно. Для операций и результатов выполнения этих операций существуют разные термины. Для рассмотренных операций над множествами и сама операция, и ее результат носят одно название.
Из школьного курса математики нам известно, что операции над числами обладают рядом свойств. Например, сложение действительных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами: для любых действительных чисел а и bсправедливо равенство а +b=b+ а, а для любых чисел а,bи с справедливо равенство (а +b) + с = а + (b+ с).
Перечислим другие свойства:
а •b=b•а; (а•b)•с = а•(b•с); (а +b)•с = а • с + b•с.
Выясним, обладают ли «похожими» свойствами пересечение и объединение множеств.
Доказано, что операции над множествами обладают следующими свойствами:
А ∩ В = В∩ А и А∪ В = В∪ А – коммутативное свойство для операций пересечения и объединения.
(А ∩ В)∩ С = А∩ (В∩ С) и (А∪ В)∪ С = А∪ (В∪ С) ассоциативное свойство для операций пересечения и объединения.
(А ∪ В)∩ С = (А∩ С) ∪ (В∩ С)– пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств и
(А ∩ В)∪ С = (А∪ С) ∩(В∪ С) – объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств.
Заметим, что если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств, и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение.
Убедиться в справедливости сформулированных свойств можно путем доказательства, а также проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера.
Заметим, что 1-3 свойства имеют аналоги во множестве действительных чисел, над которыми производят действия сложения и умножения. А вот аналога четвертому свойству нет. Действительно, равенство а • b+ с = (а +b)•(b+ с) – неверное.
Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств:
А₁∩А₂∩…∩Аn= {х/х∈А₁ и х∈А₂ и … и х∈Аn},
А₁∪А₂∪…∪Аn= {х/х∈А₁ или х∈А₂ или… или х∈Аn}.
Аналогично можно поступить и по отношению к рассмотренным свойствам данных операций.
Лекция 3. Операции с множествами
План:
1. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального
2. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств.
3. Декартово произведение множеств