4.3. Приклади розв’язування задач з динаміки матеріальної точки і поступального руху тіла

Приклад 1

На тіло маси , що лежить на гладкій горизонтальній площині, в момент почала діяти сила, яка залежить від часу як , де – стала. Напрям цієї сили весь час утворює кут з горизонтом (див. рис. 1.1). Знайти:

1. швидкість тіла на момент відриву від площини;

2. шлях, який пройшло тіло до цього моменту.

Розв’язання:

Розглядуване тіло взаємодіє з Землею і з площиною. На тіло діє з боку Землі сила ваги , а з боку площини – сила реакції опори . Сила тертя відсутня, оскільки площина є гладкою. Динамічне рівняння руху (другий закон Ньютона) у векторному вигляді:

. (1.1)

Перейдімо від векторів до їхніх проекцій (Рис. 1.2.):

, (1.2)

. (1.3)

На момент відриву тіло перестає взаємодіяти з площиною, тобто . Тоді з (1.3) випливає:

. (1.4)

З формули (1.4) знайдемо момент часу, коли відбувається відрив тіла від площини:

. (1.5)

З виразу (1.2) дістаємо залежність прискорення від часу:

. (1.6)

Оскільки , то, враховуючи (1.6),

.

Швидкість на момент відриву

. (1.7)

Залежність швидкості від часу має вигляд:

. (1.8)

Після підстановки в (1.7) значення з (1.5) дістанемо шукане значення швидкості тіла на момент відриву його від площини:

.

Оскільки рух прямолінійний, шлях, який пройшло тіло до моменту відриву , де – координата тіла на момент відриву. Координата зв’язана із швидкістю наступним чином:

.

Підставивши з (1.8), дістанемо:

.

А шлях, який пройшло тіло до моменту відриву:

. (1.9)

Після підстановки значення з (1.5) у формулу (1.9) знайдемо шлях

.

Задачі для самостійного розв’язування

1. Невеликому тілові надають початкову швидкість , внаслідок чого воно починає рухатися поступально вгору по похилій площині, яка утворює кут з горизонтом. Коефіцієнт тертя між площиною й тілом . Скільки часу рухатиметься тіло до зупинки?

Відповідь: с.

2. Матеріальна точка маси 6 кг може рухатися вздовж осі х без тертя. Вона починає рух при і . Точка рухається протягом 3 секунд під дією сили ньютон.

   1. Якої швидкості вона при цьому набуває?

   2. Яким є її прискорення наприкінці шляху?

   3. Чому дорівнює потужність, що витрачається на її рух на цей момент?

Відповідь: .

Приклад 2

На підлозі стоїть візок у вигляді довгої дошки, наділеної легкими колесами. На одному кінці дошки стоїть людина. Маса людини кг, маса дошки кг. З якою швидкістю (відносно підлоги) рухатиметься візок, якщо людина піде вздовж дошки із швидкістю (відносно дошки) ? Знайти, на яку відстань : 1) пересунеться візок, якщо людина перейде на інший кінець дошки; 2) переміститься людина відносно підлоги; 3) переміститься центр мас системи візок – людина відносно дошки та відносно підлоги. Довжина дошки м. Масою колес знехтувати. Тертя у втулках не враховувати.

Розв’язання:

Закон збереження імпульсу для системи візок – людина у системі відліку, зв’язаній з підлогою, має вигляд:

. (2.1)

Спроектуємо усі вектори на вісь Х:

. (2.2)

Швидкість візка, як випливає з формули (2.2):

. (2.3)

Після підстановки числових значень у формулу (2.3) дістанемо:

.

Переміщення людини відносно візка , звідси

. (2.4)

Переміщення візка відносно підлоги за той самий час:

. (2.5)

Підставивши (2.4) у (2.5), знайдемо переміщення візка:

м. (2.6)

Переміщення людини відносно підлоги

м.

Знайдемо первісне положення центра мас системи візок – людина відносно візка:

. (2.7)

Коли людина перейшла на інший кінець дошки, центр мас змінив положення. З міркувань симетрії випливає:

. (2.8)

Переміщення центра мас системи візок – людина відносно візка

м.

Переміщення центра мас системи візок – людина відносно підлоги

.

Система візок – людина є замкненою, тому при будь-яких переміщеннях тіл всередині системи її центр мас не змінює положення відносно підлоги.