Задачі для самостійного розв’язування

1. Радіус-вектор частинки змінюється з часом за законом:

м.

Знайти: а) швидкість та прискорення частинки; б) модуль швидкості на момент .

Відповідь: .

2. У момент частинка вийшла з початку координат у додатному напрямі осі х. ЇЇ швидкість змінюється з часом за законом:

,

де – початкова швидкість, модуль якої , с. Знайти:

а) координату х частинки на моменти часу 6,0; 10 та 20 с; б) моменти часу, коли частинка перебуватиме на відстані 10 см від початку координат.

Відповідь: 0,24 м; 0; −2,0 м; 1,1 с; 9 с; 11 с.

Приклад 2

Радіус-вектор точки відносно початку координат змінюється з часом за законом , де і – сталі, та – орти осей та . Знайти:

1) рівняння траєкторії точки ; зобразити її графік;

2) залежність від часу швидкості , прискорення та модулів цих величин;

3) залежність від часу кута між векторами і .

Розв’язання:

1. Радіус-вектор:

, (2.1)

, (2.2)

, (2.3)

Щоб знайти рівняння траєкторії , здобудемо з рівняння (2.2) й підставимо у (2.3):

Це рівняння параболи. Якщо , то наближений графік має вигляд, показаний на рис. 2.1.

2. Вектор швидкості:

. (2.4)

, (2.5)

. (2.6)

Після підстановки (2.5) і (2.6) у (2.4) дістанемо

. (2.7)

Модуль вектора швидкості:

.

З урахуванням (2.5) і (2.6) модуль швидкості:

. (2.8)

Прискорення:

. (2.9)

,

,

. (2.10)

Модуль прискорення: , якщо , та , якщо

Рух є рівноприскореним, вектор прискорення напрямлений вздовж осі .

3) Кут між векторами і дорівнює куту, який утворює вектор з віссю (дивись рис. 2.2).

На момент часу кут і швидкість напрямлена горизонтально. Якщо , то кут , рух стає вертикальним.

Задачі для самостійного розв’язування

1. Рух матеріальної точки заданий рівнянням

,

де . Знайти: а) рівняння траєкторії; б) вирази та ; в) для моменту часу с обчислити модулі швидкості та прискорення.

Відповідь: ; .

2. Рух точки по кривій заданий рівняннями:

,

де . Знайти рівняння траєкторії точки, її швидкість v і повне прискорення a на момент часу с.

Відповідь: .

3. Точка рухається у площині ху за законом: ,

де  та  – додатні сталі. Знайти:

1. рівняння траєкторії точки у(х); зобразити її графік;

2. момент , коли кут між швидкістю й прискоренням дорівнює .

Відповідь: .

Приклад 3

Рух матеріальної точки заданий рівнянням:

,

де ; . Накреслити траєкторію точки. Знайти залежність від часу швидкості й прискорення , визначити модуль швидкості v і модуль прискорення .

Розв’язання:

Радіус-вектор точки:

, (3.1)

, (3.2)

, (3.3)

.

Щоб виключити змінну , слід піднести обидві частини рівнянь (3.2) та (3.3) у квадрат і потім додати окремо ліві й праві частини виразів, що отримали.

Після додавання дістанемо:

. (3.4)

Рівняння (3.4) – рівняння кола радіуса з центром у початку координат (див. рис. 3.1).

Швидкість точки:

, (3.5)

, (3.6)

. (3.7)

Після підстановки виразів (3.6) та (3.7) у рівняння (3.5) здобудемо:

. (3.8)

Модуль швидкості:

.

Враховуючи (3.6) і (3.7), дістанемо наступний вираз для модуля швидкості:

.

Прискорення точки:

.

Проекції вектора прискорення на осі х та у:

Тоді прискорення

,

а його модуль

.

Вектор прискорення напрямлений протилежно радіусові-вектору, тобто до центра кола. При русі точки вздовж кола з сталою за модулем швидкістю нормальне (доцентрове) прискорення

.