- •П.9. Понятие алгебраической структуры и некоторые ее замечательные элементы.
- •П.10. Еще одно свойство алгебраической операции и закон сокращения.
- •П.11. Основные алгебраические структуры: группа.
- •П.12. Основные алгебраической структуры: поле.
- •П.14. Основные алгебраические структуры: кольцо.
- •П.15. Область целостности.
- •П.1. Построение поля комплексных чисел.
- •П.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.
- •П.3. Действия с комплексными числами в алгебраической формезаписи.
- •2). Решить уравнение в поле комплексных чисел:
- •П.4. Свойства комплексно сопряженных чисел.
- •П.5. Корни из единицы.
- •П.5. Понятие корня натуральной степени из комплексного числа.
2). Решить уравнение в поле комплексных чисел:
.
Решение. Находим дискриминант . По формуле корнейквадратного уравнения находим корни:
. Ответ: .
Замечание. Здесь мы использовали равенство , откуда .
Определим операцию деления в любом поле К как умножение на обратный элемент: положим по определению и .
Легко проверить, что ,
(6) .
Действительно,
.
Однако, нет необходимости запоминать формулу (6). Лучше использовать одно простое правило. Но для этого введем сначала одно понятие.
Определение. Комплексное число называется комплексносопряженным комплексному числу .
Из определения сразу же следует, что число являетсякомплексно сопряженным числу , т.е. такие числа, которые отличаются друг от друга лишь знаком мнимой части являютсякомплексно сопряженными друг другу.
Пример: и , i и – i, и т.п.
Правило деления комплексных чисел.
Для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число комплексносопряженное знаменателю.
.
Примеры. ,
, , .
Замечание. Если , то комплексно сопряженное к нему число обозначается .
П.4. Свойства комплексно сопряженных чисел.
1. .
2. .
3. .
4. .
5.
6. .
7. .
8.
9. Для любого многочлена с действительными коэффициентами от комплексной переменной z
.
Доказательство. 1) Пусть – произвольное комплексное число. Тогда по определению комплексно сопряженного числа и , ч.т.д.
2) Пусть . Тогда и . С другой стороны, и , откуда и следует, что .
3) Докажем с помощью метода математической индукции, что равенство верно для любого числа слагаемых n.
а) База индукции.
При , равенство только что доказано.
б) Индукционная гипотеза.
Предположим, что утверждение верно, если число слагаемых равно : .
в) Индукционный переход.
Так как утверждение верно для двух слагаемых, то
. Далее используем индукционное предположение:
, откуда и следует доказываемое равенство.
4) Пусть . Тогда и . С другой стороны, , откуда и следует, что .
5) Доказывается аналогично пункту 3) методом математической индукции.
6) Пусть и k – произвольное натуральное число. Тогда по определению натуральной степени числа , ч.т.д.
7) Пусть а – действительное число. Тогда и по определению комплексно сопряженного числа , ч.т.д.
8) Пусть . По уже доказанным в пунктах 4) и 7) свойствах , ч.т.д.
9) Пусть z – комплексная переменная и – многочлен от комплекснойпеременной z с действительными коэффициентами: , где
– действительные числа. Тогда, используя уже доказанные свойства, получаем:
, ч.т.д.
Теорема доказана.
Пример. Вычислить .
Решение. Обозначим . Тогда , , . Отсюда, .
п.1.Формула Муавра.
Теорема. (Формула Муавра, 1707 г.)
Для любого целого числа n и любого действительного числа имеет место следующее равенство:
. (1)
Доказательство. Разобьем доказательство на 3 этапа.
1) Пусть – натуральное число. Так как комплексное число имеет модуль , то справедливость формулы Муавра в этом случае следует из следствия 2 теоремы об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.
2) Пусть теперь . Тогда
, ч.т.д.
3) Пусть , где – натуральное число. Тогда по свойству целых степеней, которые справедливы в любом поле, в том числе и в полекомплексных чисел, имеем:
.
Здесь мы использовали уже доказанные случаи формулы Муавра возведения в натуральную степень и в степень, равную (–1).
Теорема доказана.
Следствие. (О целых степенях комплексного числа.)
Пусть . Тогда
.
Доказательство предоставляется читателю.
п.2. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи.
Теорема. (О делении комплексных чисел в тригонометрической форме)
Пусть , где и , где – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда
. (2)
Доказательство. Воспользуемся следствием формулы Муавра и правилом умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи. Получаем:
, ч.т.д.
Пример 1. Запишите комплексные числа и в тригонометрической форме и найдите их произведение и частное .
Решение. 1) Комплексное число на комплексной плоскостинаходится во второй четверти, поэтому
, .
2) Комплексное число на комплексной плоскости находится во четвертой четверти, поэтому
, .
3)
.
Ответ: , .
Пример 2. Вычислить .
Решение. Комплексное число на комплексной плоскостинаходится в третьей четверти, поэтому ,
Применим формулу Муавра:
.