П.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.

   Обозначим через   – подмножество поля  , состоящее из тех пар действительных чисел, второй элемент которых равен нулю. Пусть  . Тогда по правилам сложения и умножения пар  ,  . Это дает нам возможность отождествить такие пары с их первым элементом, а само множество   с множеством R.

   Положим по определению  . Отсюда, в частности,  ,  .

Далее, заметим, что любую пару из   мы можем представить в виде:  .

Для пары   введем специальное обозначение. Положим по определению  . Тогда 

(3)                     .

Такую форму записи комплексного числа называют алгебраической.

   Само поле комплексных чисел обозначают буквой С.

                              .

   Заметим, далее, что  . Это означает, что комплексное число   является корнем квадратного уравнения  . Легко видеть, что вторым корнем этого уравнения является комплексноечисло  . Действительно,  .

   Таким образом, можно дать следующее определение комплексных чисел.

Определение. Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел  , которая обычно записывается в виде  , где элемент i  является корнем квадратного уравнения  , т.е.  .

Определение. Пусть   – алгебраическая форма записикомплексного числа. Элемент i  называется мнимой единицей. Действительное число а называется вещественной частью комплексногочисла z и обозначается  . Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается  .

Определение. Комплексное число, вещественная часть которого равна нулю, называется чисто мнимым.

   Из определения алгебраической формы записи комплексного числа(см. равенство (3)) сразу же вытекает условие равенства двухкомплексных чисел:

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части, т.е.

             .

Здесь & – знак конъюнкции, логическая связка "и".

   Замечание. Из определений вытекает, что  , т.е. любое действительное число есть комплексное число с нулевой мнимой частью. Любое комплексное число можно рассматривать как результат сложениядвух комплексных чисел, одно из которых является действительным числом (его мнимая часть равна нулю), другое – чисто мнимое:

               

П.3. Действия с комплексными числами в алгебраической формезаписи.

   Из определения сложения пар (1) и алгебраической формы записикомплексного числа (3) следуют правила сложения и умножениякомплексных чисел в алгебраической форме записи. Пусть  ,   – произвольные комплексные числа. Тогда

(4)      

(5)     .

   Заметим, что этот же результат можно получить пользуясь доказанной теоремой. Множество комплексных чисел образует поле. В полесправедливы законы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Рассматриваем каждое комплексное число как в замечании в конце п.2. – как результат сложения двух комплексныхчисел. Тогда

.

. Здесь мы воспользовались равенством  .

   Таким образом, нет нужды запоминать правила сложения (4) и особенно умножения (5). Далее, понятно, что   – нулевой элемент,   – противоположный.

   Определяем операцию вычитания, как сложение с противоположным:

.

   Примеры. 1). ,  ,  ,

,

.