- •П.9. Понятие алгебраической структуры и некоторые ее замечательные элементы.
- •П.10. Еще одно свойство алгебраической операции и закон сокращения.
- •П.11. Основные алгебраические структуры: группа.
- •П.12. Основные алгебраической структуры: поле.
- •П.14. Основные алгебраические структуры: кольцо.
- •П.15. Область целостности.
- •П.1. Построение поля комплексных чисел.
- •П.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.
- •П.3. Действия с комплексными числами в алгебраической формезаписи.
- •2). Решить уравнение в поле комплексных чисел:
- •П.4. Свойства комплексно сопряженных чисел.
- •П.5. Корни из единицы.
- •П.5. Понятие корня натуральной степени из комплексного числа.
П.12. Основные алгебраической структуры: поле.
Определение. Полем называется множество К, на котором определены две внутренние бинарные алгебраические операции (сложение и умножение) и подчиняющиеся следующим законам (аксиомы поля).
1. Закон ассоциативности относительно сложения:
.
2. Существование нулевого элемента:
.
3. Существование противоположного элемента:
.
4. Закон коммутативности относительно сложения:
.
5. Закон ассоциативности относительно умножения:
.
6. Существование единичного элемента:
.
7. Существование обратного элемента:
.
8. Закон коммутативности относительно умножения:
.
9. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:
и .
Другими словами, полем называется алгебраическая структура сдвумя алгебраическими операциями (сложение и умножение), такая, что относительно сложения множество К является абелевой группой, а относительно умножения множество является коммутативной группой и умножение дистрибутивно относительно сложения.
Определение. Пусть К – поле. Тогда группу называют аддитивной группой поля К, а группу – мультипликативной группой поля К.
Теорема (Простейшие свойства поля)
1. .
2. .
3. Если х и у – элементы поля К, то равенство возможно лишь при или .
Доказательство. 1) Прибавим к элементу элемент х и воспользуемся аксиомами поля:
.
Таким образом имеем равенство . Так как поле К относительно сложения является группой, то справедлив закон сокращения и применяя его сразу получаем равенство .
2) Применяя аксиомы поля, получаем равенство:
.
Из этого равенства сразу же следует, что элемент является противоположным элементу х.
3) Если или , то по уже доказанному свойству верно равенство . Обратно, пусть . Допустим, что и . Тогда , т.к. – группа относительно умножения и следовательно , что противоречит предположению. Теоремадоказана.
Примеры полей.
1. Множество рациональных чисел.
2. Множество действительных чисел.
3. Поле рациональных дробей с одной неизвестной.
4. Поле из двух элементов: . Здесь 0 – нулевой элемент, 1 – единичный. Сложение и умножение задаются таблицами Кэли:
и .
Нетрудно проверить справедливость всех аксиом поля.
П.14. Основные алгебраические структуры: кольцо.
Определение. Пусть А – непустое множество, на котором определены две внутренние бинарные алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и записывать соответственно. Алгебраическая структура называется кольцом, если относительно сложения множество А является абелевой группой и выполняется закон ассоциативности умножения и оба закона дистрибутивности умножения относительно сложения.
Другими словами, алгебраическая структура называется кольцом, если выполняются следующие законы:
1 – 4. Законы абелевой группы относительно сложения;
5. Закон ассоциативности умножения:
;
6. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:
и .
Определение. Если в кольце А выполняется:
7. Закон коммутативности умножения
,
то кольцо А называется коммутативным кольцом.
Определение. Если в кольце А существует единичный элемент относительно умножения:
8. Закон существования единичного элемента
,
то кольцо А называется кольцом с единицей.
Замечание. Любое поле является коммутативным кольцом с единицей. Но обратное утверждение является неверным, т.к. не в каждом коммутативном кольце с единицей справедлив закон существования обратного элемента.
Пример 1. Множество целых чисел Z относительно сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей.
Пример 2. Множество всех многочленов от одной буквы с коэффициентами из поля K относительно операций сложения и умножения многочленов является коммутативным кольцом с единицей.
Пример 3. Множество – всех числовых функций, определенных на отрезке числовой оси относительно обычных операций сложения и умножения числовых функций является коммутативным кольцом с единицей.
Теорема. (Простейшие свойства кольца)
Пусть А – произвольное кольцо. Тогда
1. .
2. Если кольцо А обладает единицей, то
.
Доказательство один к одному повторяет доказательство аналогичных свойств поля.