ЭС-3. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: ознакомиться с принципом работы двухканального электронного осциллографа; провести наблюдение и сложение двух гармонических колебаний на экране осциллографа.

Краткая теория

Колебания - движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Периодические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса, называются гармонически­ми (рис.1).

Рис.1

или

где х - отклонение некоторого параметра колеблющейся системы от положения равновесия, которому соответствует значение х = 0; А - амплитуда колебания (наибольшее отклонение колеблющейся ве­личины от положения равновесия);

- фаза колебаний;

- начальная фаза колебания.

Период колебаний Т - время одного полного колебания:

.

Частота колебаний  - число колебании в единицу времени:

; [] = Гц (Герц).

Круговая (циклическая) частота ₀ - число колебаний за 2 cекунд: ;

Гармоническим колебаниям можно сопоставить вектор , вращающийся вокруг своего начала с угловой скоростью ₀ (рис.2).

Рис.2

Пусть длина вектора есть А. Проекции вектора на координатные оси выражаются так:

Сложение колебаний одинакового направления и одинаковой частоты

Результатом сложения двух гармонических колебаний x₁ и x₂ , определяемых уравнениями

является гармоническое колебание той же частоты:

где  - фаза суммарного колебания.

Векторное сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты показано на рис.3.

Рис.3

Амплитуда суммарного колебания связана с амплитудами слагае­мых колебаний соотношением:

Фаза суммарного колебания  определяется:

а) если разность фаз двух слагаемых колебаний равна нулю (₁ - ₂ = 0), то

;

б) если разность фаз слагаемых колебаний , то

Сложение двух гармонических колебаний одного направления, мало отличающихся по частоте

При сложении таких колебаний возникают биения (гармонические колебания с пульсирующей амплитудой):

Суммарное колебание:

График этого колебания изображен на рис.4.

Рис.4

Амплитуда суммарного колебания:

где - частота биений ( << 0).

Период биений:

В некоторые интервалы времени вследствие небольшой разности периодов колебания почти совпадают по фазе, т.е. усиливают друг друга, и амплитуда суммарного колебания становится равной . При постепенном увеличении разности фаз в другие интервалы вре­мени колебания становятся противофазными, и суммарная амплиту­да обращается в нуль. Таким образом, амплитуда сложного колебания при биениях изменяется со временем периодически. Переменную величину A(t) условно называют амплитудой биения.

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний

Материальная точка колеблется одновременно вдоль оси координат ОХ и ОУ по законам:

где А и В - амплитуды исходных колебаний; - частота колебаний;  -начальная фаза одного из колебаний (разность фаз обоих колеба­ний).

У равнение траектории результирующего колебания представляет собой уравнение эллипса:

Рис.5

Ориентация в плоскости ХОУ осей эллипса, а также его размеры зависят от амплитуд А и В складываемых колебаний и разности их начальных фаз .

1). Если , то оси эллипса совпадают с осями координат X и У, а размеры его полуосей равны амплитудам А и В: .

При А = В эллипс вырождается в окружность.

Если , то движение совершается по часовой стрелке.

Если , то движение происходит против часовой стрелки.

2) Если разность фаз  = 0 , то .

Траекторией такого колебания является прямая. Результирующее движение - гармоническое колебание вдоль этой прямой с частотой  и амплитудой, равной .

3). Если разность фаз - траектория прямая линия (рис.5), уравнение которой имеет вид:

Х

Рис.6