Принадлежность точки и прямой плоскости

Условиями принадлежности прямой плоскости являются следующие положения геометрии:

• прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости.

• прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую плоскости, и параллельна прямой, лежащей в этой плоскости.

Пусть в плоскости  лежит какая-нибудь прямая a (рис. 3.21).

Рис. 3.21

Продолжив в обе стороны до пересечения с плоскостями проекций ₁ и ₂, получим ее следы – горизонтальный H и фронтальный F, которые вследствие принадлежности прямой a (Н  а, F  а) и плоскости  (а ) расположатся на соответствующих следах этой плоскости.

Таким образом, условием принадлежности прямой плоскости общего положения, заданной следами, является следующее положение: если прямая, не параллельная ни горизонтальному, ни фронтальному следам плоскости, принадлежит плоскости, то следы прямой лежат на одноименных следах плоскости (рис. 3.22, 3.23).

Рис. 3.22	Рис. 3.23

Установленное положение справедливо и для проецирующих плоскостей (рис. 3.24, 3.25).

Рис. 3.24	Рис. 3.25

Принадлежность прямой плоскости, заданной не следами, показана на рис. 3.26, 3.27.

Рис. 3.26	Рис. 3.27

Прямая m (рис. 3.26) принадлежит плоскости (а∩b), а прямая n (рис 3.27) плоскости (с||d), так как они проведены через точки 1 и 2, принадлежащие плоскостям  и .

Условием принадлежности точки плоскости является следующее очевидное положение:

Если точка принадлежит плоскости – проекции точки должны лежать на одноименных проекциях прямой, принадлежащей этой плоскости.

Для того чтобы взять в заданной плоскости точку, надлежит провести в этой плоскости какую-нибудь прямую, каждая точка этой прямой будет удовлетворять поставленному условию (рис. 3.28–3.30).

Рис. 3.28	Рис. 3.29
Рис. 3.30

Через точки 1 и 2 плоскости  проводят прямую с (рис. 3.28). Точка 3 принадлежит прямой с и, следовательно, плоскости . Точки Е и А (рис. 3.29, 3.30) принадлежат плоскостям т. к. лежат на прямой 12.

Особые прямые плоскости

Прямые линии, лежащие в плоскости и параллельные плоскостям проекций, называют линиями уровня плоскости.

Различают горизонтальную прямую плоскости, или горизонталь (рис. 3.31–3.33), фронтальную, или фронталь (рис. 3.34–3.36), и профильную прямую плоскости (рис. 3.37–3.41).

Рис. 3.31	Рис. 3.32
Рис. 3.33

При задании в плоскости горизонтали сначала проводят ее фронтальную проекцию, располагая ее на чертеже параллельно оси х. Построение горизонтали плоскости (а∩b) показано на рис. 3.32. Сначала проведена h, перпендикулярная к заданной линии проекционной связи. Так как горизонталь должна лежать в плоскости , то она пересекается с прямыми а и b в точках 1 и 2. Поэтому горизонтальная проекция h горизонтали h проходит через точки 1 и 2.

Построение фронтали плоскости показано на рис. 3.34 и 3.35.

Рис. 3.34	Рис. 3.35

На рис. 3.37–3.39 показаны профильные прямые, лежащие в данных плоскостях.

Рис. 3.36	Рис.3.37

На рис. 3.40–3.42 изображены линии уровня проецирующих плоскостей. В горизонтально проецирующей плоскости фронталь является горизонтально проецирующей прямой, а, следовательно, и профильной. Во фронтально проецирующей плоскости горизонталь, совпадающая с профильной прямой, представляет собой фронтально проецирующую прямую.

Рис. 3.38	Рис.3.39
Рис. 3.40	Рис.3.41
Рис. 3.42

Контрольные вопросы по теме лекции:

1. Как может быть задана плоскость на чертеже?

2. Что называют следом плоскости на плоскости проекций и как они обозначаются?

3. Какая плоскость называется плоскостью общего положения?

4. Какие плоскости называются проецирующими, плоскостями уровня?

4. Каким свойством обладают проецирующие плоскости? Где располагается горизонтальная (фронтальная) проекция любой системы точек, расположенных в горизонталь (фронтально) проецирующей плоскости?

3. Назовите главные линии плоскости.

4. Назовите условие принадлежности прямой плоскости. Как построить на чертеже точку, принадлежащую плоскости?

5. 5. Что называется горизонталью, фронталью и профильной прямой?