Метод проецирования. Виды проецирования

Одно из основных геометрических понятий - отображение множеств. В начертательной геометрии каждой точке трехмерного пространства ставится в соответствие определенная точка двумерного пространства – плоскости. Геометрическими элементами отображения служат точки, линии, поверхности пространства. Геометрический объект, рассматриваемый как точечное множество, отображается на плоскость по закону проецирования. Результатом такого отображения является изображение объекта.

Рис. 1.1.

В основу любого изображения положена операция проецирования, которая заключается в следующем. В пространстве выбирают произвольную точку S (рис.1.1) в качестве центра проецирования и плоскость _i, не проходящая через точку S, в качестве плоскости проекций (картинной плоскости). Чтобы спроецировать точку А на плоскость _i, через центр проецирования S проводят луч SА до его пересечения с плоскостью  в точке А_i. Точку А_i принято называть центральной проекцией точки А, а луч SА - проецирующим лучом.

Описанные построения выражают суть операции, называемой центральным проецированием точек пространства на плоскость. По принципу центрального проецирования работают фотоаппараты и кинокамеры. Упрощенная схема работы человеческого глаза близка к этому виду проецирования: роль центра проецирования выполняет оптический центр хрусталика, роль проецирующих прямых – лучи света; плоскостью проекций служит сетчатка глаза. Поэтому изображения, построенные по принципу центрального проецирования, наиболее наглядны и их широко используют в своей работе художники, архитекторы, дизайнеры и многие другие специалисты.

Центральное проецирование есть общий случай проецирования геометрических объектов на плоскости. Итак, плоскость  и центр S определяют аппарат центрального проецирования. Если он задан, то всегда имеется возможность определить положение центральной проекции любой точки пространства на плоскость проекций.

Так как через две различные точки можно провести одну и только одну прямую, то из анализа рис. 1.1 можно сделать вывод, что при заданном аппарате проецирования, каждая точка пространства будет иметь одну и только одну проекцию. Но такой чертеж не является “обратимым”, т.е. проекция точки не определяет ее положения в пространстве.

Действительно по проекции А не представляется возможным определить положение точки А, так как точка А может быть проекцией любой точки А1, А2 … Аn, принадлежащей прямой [SА).

Частный случай центрального проецирования – параллельное проецирование, когда центр проецирования удален в бесконечность, при этом проецирующие лучи можно рассматривать как параллельные проецирующие прямые. Положение проецирующих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проецирования S (рис.1.2). В этом случае полученное изображение называют параллельной проекцией объекта.

Рис. 1.2

Рис.1.3

В свою очередь параллельные проекции подразделяются на косоугольные, когда направление проецирования образует с плоскостью проекций угол не равный 90⁰ и прямоугольные (рис.1.3), когда проецирующие прямые перпендикулярны плоскости проекций.

Таким образом, прямоугольное или ортогональное проецирование является частным случаем параллельного и полученная этим методом проекция объекта называется ортогональной.

К проекционным изображениям в начертательной геометрии предъявляются следующие основные требования:

Отмеченные преимущества обеспечивают применение прямоугольного проецирования для составления машиностроительных чертежей.