Лабораторная работа №4 Численное интегрирование Численное интегрирование в Excel.

Рассмотрим подробно шесть алгоритмов численного интегрирования на примере интеграла: .

Задание 1: Разобьем интервал интегрирования [0, 3] на n частей. Для этого в столбце А запишите значения x_i от 0 до 3 шагом, например 0,1 (вы можете выбрать и более мелкий шаг). Потом организуйте таблицу следующего содержания:

x	S1(л.п.)	S2(п.п)	S3(с.п.)	S4(тр.)	S5(симп.)	S6(3/8)
[…]	[…]	[…]	[…]	[…]	[…]	[…]

Здесь S₁ – формула левых прямоугольников, S₂ – формула правых прямоугольников, S₃ – формула средних прямоугольников, S₄ – формула трапеций, S₅ – формула Симпсона, S₆ – формула трех восьмых.

После того, как заполните таблицу для всех значений x_i, значения интеграла найдите суммированием значений, полученных в каждом столбце. Значения сумм (приближенные значения интегралов) выведите с точностью до 5 знаков после запятой, сравните, сделайте выводы о точности используемых методов для интегрирования данной функции.

Численное интегрирование в MathCad.

Интегрирование в MathCAD реализовано в виде вычислительного оператора. Допускается вычислять интегралы от скалярных функций в пределах интегрирования, которые также должны быть скалярами. Несмотря на то, что пределы интегрирования обязаны быть действительными, подынтегральная функция может иметь и комплексные значения, поэтому и значение интеграла может быть комплексным.

Чтобы вычислить определенный интеграл, используют панель инструментов Вычисления. Можно вычислять интегралы с одним или обоими бесконечными пределами. Для этого на месте соответствующего предела введите символ бесконечности, воспользовавшись, например, той же самой панелью Вычисления.

Задание 2: Вычислите данный определенный интеграл. Сравните результат с тем, что вы получили в Excel? Вычислите этот же интеграл как неопределенный.

Результат численного интегрирования - это не точное, а приближенное значение интеграла, определенное с погрешностью, которая зависит от встроенной константы TOL. Чем она меньше, тем с лучшей точностью будет найден интеграл, но и тем больше времени будет затрачено на расчеты. Напомню, что по умолчанию TOL=0.001.

В программе MathCAD пользователь имеет возможность выбирать сам алгоритм численного интегрирования. Для этого сделайте следующее:

1. Щелкните правой кнопкой мыши в любом месте на левой части вычисляемого интеграла.

2. В появившемся контекстном меню выберите один из четырех численных алгоритмов Обратите внимание, что перед тем как один из алгоритмов выбран впервые, флажок проверки в контекстном меню установлен возле пункта AutoSelect (Автоматический выбор). Это означает, что алгоритм определяется MathCAD, исходя из анализа пределов интегрирования и особенностей подынтегральной функции. Как только один из алгоритмов выбран, этот флажок сбрасывается, а избранный алгоритм отмечается точкой.

Разработчиками MathCAD запрограммированы четыре численных метода интегрирования:

- Romberg (Ромберга) - для большинства функций, не содержащих особенностей;

- Adaptive (Адаптивный) - для функций, быстро меняющихся на интервале интегрирования;

- Infinite Limit (Бесконечный предел) - для интегралов с бесконечными пределами;

- Singular Endpoint - для интегралов с сингулярностью на конце, это модифицированный алгоритм Ромберга для функций, не определенных на одном или обоих концах интервала интегрирования.

Обычно выбор численного метода оставляют за MathCAD, установив флажок AutoSelect (Автоматический выбор) в контекстном меню. Попробовать другой метод можно, например, чтобы сравнить результаты расчетов в специфических случаях, когда у вас закрадываются сомнения в их правильности.

Основные идеи итерационного алгоритма Ромберга следующие: сначала строится несколько интерполирующих полиномов, которые заменяют на интервале интегрирования подынтегральную функцию f (x). В ходе первой итерации интервал интегрирования разбивается на 1, 2 и 4 … интервала, то есть сначала граничные точки интервала интегрирования соединяют прямой линией, потом квадратичной параболой и т. д. Интеграл от каждого полинома с известными коэффициентами легко вычисляется аналитически. Таким образом, определяется последовательность интегралов от интерполирующих полиномов: J₁, J₂, ... Из-за интерполяции по разному числу точек вычисленные интегралы J₁, J₂, ... несколько отличаются друг от друга. Причем чем больше точек используется для интерполяции, тем интеграл от интерполяционного полинома ближе к искомому интегралу, стремясь к нему в пределе бесконечного числа точек. Чем больше количество точек интерполяции, тем ближе очередное приближение Ромберга к вычисляемому интегралу и, соответственно, тем меньше оно отличается от приближения предыдущей итерации. Как только разница между двумя последними итерациями |J_N-J_N-1| становится меньше погрешности TOL, итерации прерываются, и J_N появляется на экране в качестве результата интегрирования.

Задание 3: Вычислите исследуемый интеграл разными методами. Сравните полученные результаты.

Критерии оценки полученных знаний, умений и навыков:

студент получает 4 балла при выполнении лабораторной работы и ответе на контрольные вопросы преподавателя, поощрительный 1 балл студент получает при своевременном (в день проведения лабораторной работы) выполнении лабораторной работы, дополнительные 5 баллов студент получает при реализации одного из изученных алгоритмов на языке программирования ПАСКАЛЬ. Таким образом, максимальное количество баллов, которые студент может получить за данную лабораторную работу, равно 10.

Примерные контрольные вопросы:

1. Чем определяется точность численного нахождения определенных интегралов?

2. Какие недостатки и достоинства имеют квадратурные формулы прямоугольников, формула Симпсона и формула трех восьмых?

3. Какие вы знаете способы вычисления определенных и неопределенных интегралов в программе MathCAD?