Федеральное государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Сибирский Федеральный Университет»

Институт управления бизнес процессами и экономикой

Факультет Прикладной экономики и управления экономическими системами

Кафедра Экономики и управления

Дисциплина Статистика

Группа ПЭ 09-01

Отчет о лабораторной работе

Преподаватель Боровкова О. Г.

Разработал студент Бородулина К.Ю.

Красноярск, 2010 г.

Цель работы:

Закрепить полученные теоретические данные и практические навыки по расчету и анализу основных статистических показателей.

Теоретическое введение

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в социально-экономических исследований, является средняя величина. Она представляет собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщенную характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.

Важнейшее свойство средней заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных частиц совокупности могут колебаться в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные.

Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

Типичность средней непосредственным образом связана с однородностью статистической совокупности. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности.

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическая простая. Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по не сгруппированным данным.

(1)

Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по несколько раз. В подобных случаях расчет производится по сгруппированным данным или интервальными.

Расчет производится по формуле арифметической взвешенной:

(2)

Для характеристики структуры совокупности используются такие показатели как мода и медиана, называемые структурными или распределительными средними.

Модой (Мо) называется наиболее часто встречающийся вариант или то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения.

В дискретном ряду мода – это вариант с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант так называемого модального интервала.

Модальный интервал – интервал, который имеет наибольшую частоту (частость).

Конкретное значение моды для интервального ряда определяется формулой:

, (3)

где х_мо – нижняя граница модального интервала;

i_мо – величина модального интервала;

f_мо – частота, соответствующая модальному интервалу;

f_мо-1 – частота интервала, предшествующая модальному интервалу;

f_мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана (М_е) - это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значение варьирующего признака меньше, чем средний вариант, другая большие.

В дискретном ряду с четным числом индивидуальных величин медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант, а с нечетным числом медианой будет варианта, расположенная в центре ряда.

Для интервального ряда медиана определяется по формуле:

(4)

где х_ме- нижняя граница медианного интервала;

i_ме - величина медианного интервала;

s_ме-1 – сумма частот, накопленная до медианного интервала;

f_ме – частота, соответствующая медианному интервалу.

Медианный интервал – первый интервал, в котором накопленная частота составляет половину или больше половины общей суммы частот. Рассматривая зарегистрированные в процессе статистического наблюдения величины того или иного признака у отдельных единиц совокупности можно обнаружить между ними различия. Колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака у единиц совокупности называются вариацией. Вариация порождается комплексом условий, действующих на совокупность ее единицы.

Исследование вариации в статистике дает возможность оценить степень воздействия на данный признак других варьирующих признаков. Определение вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, построении статистических моделей, разработке материалов экспертных опросов и во многих других случаях.

Наличие вариации в признаках изучаемых явлений ставит перед статистикой задачи ее исследования: определение меры вариации, ее измерение, нахождение соответствующих измерителей, показателей, характеризующих ее размеры, выявление их сущности и методов вычисления факторов, ее определяющих.

По степени вариации можно судить о многих сторонах процесса развития изучаемых явлений, в частности об однородности совокупности, устойчивости индивидуальных значений признака, типичности средней, о взаимосвязи между признаками одного и того же явления и признаками разных явлений. Статистические показатели, характеризующие вариацию, широко применяются в практической деятельности.

Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные. К абсолютным относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Вторая группа показателей вычисляется как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической. Относительными показателями вариации являются коэффициенты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение и др.

Самым простым абсолютным показателем является размах вариации (R).

Размах показывает, насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака.

Его рассчитывают как разность между наибольшим (х_max) и наименьшим (x_min) значениями варьирующего признака, т.е.

(5)

Размах вариации – важный показатель колеблемости признака но не исчерпывающий его характеристику.

Для анализа вариации необходим и показатель, который отражает все колебания варьирующего признака, дающий обобщенную ее характеристику. Для многих варьирующих признаков возможно допущение, что при прочих равных условиях все единицы совокупности в соответствии с основными законами своего развития имели бы одинаковую и притом вполне определенную величину признака в данных условиях места и времени. Вполне логично в качестве такой величины условно принять среднюю величину из всех значений признака, поскольку в ней более или менее погашаются случайные отклонения от закономерного хода развития явления, и средняя тем самым отражает типичный размер признака у данной однородной совокупности единиц. Но условия существования и развития отдельных единиц совокупности в определенной степени различны, что сказывается и на различии значений у них взятого нами признака. Средняя величина отражает эти средние условия.

Следовательно, средняя применяется в качестве своего рода центра тяжести, вокруг которого происходит колебание, рассеяние значений признака. При обобщении этих колебаний необходимо вновь прибегнуть к методу средних величин – найти среднюю величину этих отклонений.

Такая средняя называется средним линейным отклонением (d). Оно вычисляется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант и (взвешенная или простая в зависимости от исходных условий) по следующим формулам:

(простая), (6)

(взвешенная) (7)

Поскольку сумма отклонений значений признака от средней величины равна нулю, приходится все отклонения брать по модулю, приходится все отклонение брать по модулю, на что указывают прямые скобки в числителе формул.

Среднее линейное отклонение дает обобщенную характеристику степени колеблемости признака в совокупности. Однако при его исчислении приходится допускать некорректные с точки зрения математики действия, нарушать законы алгебры, что побудило математиков и статистиков искать иной способ оценки вариации для того, чтобы иметь дело только с положительными величинами. Самый простой выход – возвести все отклонения во вторую степень. Это столь простое решение привело к большим научным результатам. Оказалось, что обобщающие показатели вариации, найденные с использованием вторых степеней отклонений, обладают замечательными свойствами. Поэтому они получили широкое распространение в различных областях знаний, на их основе были разработаны новые методы исследования, а также новые показатели количественной характеристики большого класса явлений.

Полученная мера вариации называется дисперсией (σ2), а корень квадратный из дисперсии – средним квадратическим отклонением (σ). Эти показатели являются общепринятыми мерами вариации и часто используются в статистических исследованиях, а также в технике, биологии и др. отраслях знаний. Данные показатели нашли также свое широкое применение в международной практике учета и статистического анализа, в частности в системе национального счетоводства.

Дисперсия представляет собой средние квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины и вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсии (в зависимости от исходных данных):

(простая дисперсия) (8)

(взвешенная дисперсия) (9)

Дисперсия – средняя величина квадратов отклонений. В данном случае варианты признака выражены в первой степени, значит, и мера их вариации также должна быть взята в первой степени. Для этого достаточно извлечь из дисперсии корень второй степени, получится среднее квадратическое отклонение (σ). Значит, среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:

(10)

(11)

Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно выражается в тех же единица измерения, что и признак (в метрах, тоннах, рублях, процентах и т.д.)

До сих пор говорилось о показателях вариации, выраженных в абсолютных величинах. Но для целей сравнения колеблемости различных признаков в одного и того же признака в нескольких совокупностях представляют интерес показатели вариации, приведенные в относительных величинах. Базой для сравнения должна служить средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации, среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической или медиане. Чаще всего они выражаются в процентах и определяют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации:

Коэффициент осцилляции (Ко):

(12)

Линейный коэффициент вариации ( ):

(13)

Наиболее часто в практических расчетах применяется показатель относительной вариации – коэффициент вариации.

Коэффициент вариации (Кσ или V):

(14)