.3. Метод состояний
Метод состояний является наиболее универсальным методом оценки надежности электронных систем. Он трудоемок, но имеет существенное преимущество перед рассмотренными ранее методами, так как позволяет оценивать надежность систем с учетом восстановлений в процессе эксплуатации. При проектировании современных электронных систем, как уже отмечалось, для повышения надежности предусматриваются различные виды резервирования. При эксплуатации это будет приводить к тому, что система будет оставаться работоспособной, переходя случайным образом во времени из одного работоспособного состояния в другое, до состояния отказа с последующим восстановлением и возвращением вновь в работоспособное состояние. При этом следует учитывать возможное восстановление отказавших структурных единиц системы, когда система еще работоспособна. Каждому состоянию такой системы в данный момент времени будут соответствовать определенные показатели надежности. Метод состояний позволяет определить вероятности нахождения системы в различных состояниях. От этих вероятностей можно перейти не только к интересующим надежностным показателям системы, но и к другим важным ее показателям, таким как пропускная способность.
.3.1. Применение метода состояний к восстанавливаемой системе без резервирования
Для уяснения сути метода состояний воспользуемся простейшим примером. Пусть имеется простая восстанавливаемая система, принимающая в процессе эксплуатации лишь два состояния: 1 - работоспособное состояние, 2 - состояние отказа. Обозначим вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии через , а в состоянии отказа – через . Пусть интенсивность отказов системы будет , а интенсивность восстановления - . Такую систему можно отобразить в виде графа с двумя вершинами и двумя дугами (рис.5). Стрелки на дугах указывают направления переходов с интенсивностями и от одной вершины графа к другой.
Рис.5.
Граф восстанавливаемой системы
. (.6)
Принимая во внимание то, что , после разложения в ряд получим
, (.7)
где – величина второго порядка малости.
Если же в момент времени система находилась в состоянии 2, то, аналогично рассуждая, можно найти вероятность ее перехода за время в состояние 1 в виде
. (.8)
Используя (.7) и (.8), определим вероятность того, что система будет в момент времени находиться в состоянии 1:
. (.9)
Определим приращение вероятности нахождения системы в состоянии 1 за время :
(.10)
От (.10) перейдем к уравнению вида
,
а от него к дифференциальному уравнению
, (.11)
которое отображает изменчивость во времени вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии 1.
Аналогично рассуждая, получим дифференциальное уравнение, отвечающее неработоспособному состоянию системы – состоянию 2:
. (.12)
Для случая произвольного графа отображающего какую-то систему в пространстве состояний, можно придерживаться следующей формальной методики составления дифференциального уравнения для -го состояния:
в левой части уравнения всегда помещают производную ,
в правой части располагают алгебраическую сумму слагаемых вида: и , где - интенсивность перехода из рассматриваемого -го состояния в некоторое состояние , - интенсивность перехода из некоторого состояния в рассматриваемое -е состояние.
Итак, значения вероятностей и являются решениями системы дифференциальных уравнений (.11) и (.12), для решения запишем ее в традиционном виде:
,
. (.13)
Предположим, что при система находилась в работоспособном состоянии, то есть в состоянии 1. Этим определяются начальные условия, необходимые для решения системы (13): и .
Решим систему с помощью операторного метода. Для этого представим систему (.13) в операторной форме. Учитывая, что
,
,
,
,
для системы (.13) получим
(.14)
где – оператор Лапласа, – преобразование по Лапласу.
Решение для системы (14) осуществляется традиционно через определители:
, (.15)
, (.16)
где
, (.17)
, (.18)
, (.18)
После подстановки (.17), (.18), (.19), в (.15) и.16), получим
, (.20)
. (.21)
Используя таблицы обратных преобразований по Лапласу], от изображений (.20), (.21) переходим к оригиналам
(.22)
. (.23)
вероятность нахождения восстанавливаемой системы или устройства в работоспособном состоянии называется ее коэффициентом готовности - . Таким образом, для рассматриваемой здесь системы,
. .24)
Или для достаточно большого интервала времени , когда , можно вторым слагаемым в скобках выражения (4.24) пренебречь и тогда
. (.25)
Учитывая то, что в данном случае , а переходим от (.25) к выражению
,
Аналогично вероятность P2(t) может быть интерпретирована, как коэффициент простоя – . При условии , получаем
, (.26)
Или, учитывая, что , а ,
.
Рис6.
Граф невосстанавливаемой системы
,
,
что полностью соответствует невосстанавливаемой системе.