Пересечение прямой линии с проецирующей плоскостью.

Пусть необходимо построить проекции точки пересечения прямой DE (рис. 1.18) с плоскостью, заданной треугольником АВС. Прямая DE – прямая общего положения, а плоскость АВС, судя по ее фронтальной проекции, – фронтально-проецирующая плоскость.

Т очка пересечения прямой с плоскостью – точка общая для прямой и для плоскости. Если точка принадлежит прямой DE, то проекции точки должны принадлежать одноименным проекциям прямой. Если точка принадлежит плоскости АВС, то (в соответствии с особенностями проецирования фронтально-проецирующей плоскости) фронтальная проекция точки непременно должна располагаться на прямой a’c’, в которую проецируются все точки плоскости АВС. Единственной точкой, которая могла бы быть фронтальной проекцией и точки, принадлежащей прямой, и точки, принадлежащей плоскости, является точка m' – точка пересечения фронтальных проекций прямой и плоскости. Для построения горизонтальной проекции m следует учесть, что точка М – точка, принадлежащая прямой DE, и ее горизонтальная проекция должна принадлежать горизонтальной проекции de прямой DE.

При необходимости решение подобных задач заканчивается определением видимости рассматриваемых фигур на различных плоскостях проекций. Будем полагать, что прямая DE бесконечна, а плоскость непрозрачна и ограничена треугольником АВС. Из-за того, что заданная плоскость перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций, плоскость АВС не закрывает на плоскости V ни одной из точек прямой DE, за исключением самой точки М.

Для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций можно воспользоваться универсальным способом: рассмотрением видимости конкурирующих точек на скрещивающихся прямых. Определим видимость конкурирующих точек 1⁰ и 2⁰, принадлежащих соответственно скрещивающимся прямым BC и DE. Судя по взаимному положению фронтальных проекций 1' и 2', точка 1⁰ расположена выше точки 2⁰. Поэтому на горизонтальной плоскости проекций точка 1⁰ будет видна, а точка 2⁰, располагающаяся под точкой 1⁰, – не видна. Отсюда следует, что прямая DE на участке [МЕ) видна, а прямая ВС не видна. Очевидно, что после того как прямая DE пересечет плоскость треугольника, видимость прямой изменится – прямая DE станет невидимой, пока не покажется из-под треугольника АВС.

При определении видимости прямой в данной задаче из-за простоты ее условий (заданная плоскость является проецирующей) можно воспользоваться более простой процедурой. Очевидно, что на горизонтальной плоскости проекций будет видна та часть прямой, которая располагается выше плоскости АВС, а та часть прямой, которая находится ниже заданной плоскости, видна не будет. Если обратиться к фронтальной проекции прямой и плоскости, то можно убедиться, что выше плоскости АВС располагается луч МЕ, а луч MD находится ниже заданной плоскости.

Пересечение двух плоскостей, одна из которых является проецирующей

Пусть имеются две плоскости (рис. 1.19), одна из которых задана треугольником АВС, а другая – треугольником DEF. Требуется построить проекции прямой, по которой эти плоскости пересекаются.

Проекции треугольника АВС также представляют собой треугольники, следовательно, плоскость АВС – плоскость общего положения. Плоскость, треугольника DEF, судя по его фронтальной проекции, является фронтально-проецирующей.

П оскольку прямая, по которой пересекаются плоскости, является общей для двух плоскостей, а все точки треугольника DEF на плоскость V проецируются в виде отрезка d'f', то можно утверждать, что фронтальной проекцией линии пересечения двух плоскостей мы уже располагаем, и остается достроить только горизонтальную проекцию искомой прямой. Для этого следует принять во внимание, что искомая прямая принадлежит плоскости АВС и, следовательно, со сторонами АВ и ВС пересекается. Построив проекции точек пересечения M и N₁ и соединив их прямой, получим проекции прямой, по которой пересекаются плоскости АВС и DEF.

Если считать, что треугольники лишь задают положение плоскостей, то прямую, по которой плоскости пересекаются, следует считать бесконечной. Если же в данной задаче рассматривать пересечение двух непрозрачных пластин в форме треугольников, то прямую, по которой эти пластины пересекаются, следует ограничить отрезком, который может существовать на участке, где имеется и треугольник АВС, и треугольник DEF. Поэтому прямую пересечения двух плоскостей следует ограничить отрезком МN₂, где точка N₂ – точка пересечения прямой EF с плоскостью АВС.

Определяя видимость рассматриваемых треугольников, следует учесть, что плоскость DEF перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций, и потому при взгляде на плоскость V не закрывает треугольника АВС, за исключением лишь линии пересечения MN₂. Для определения видимости относительно горизонтальной плоскости проекций можно рассмотреть видимость конкурирующих точек 1⁰ и 2⁰, принадлежащих соответственно прямым DE и АВ. Взаимное положение их фронтальных проекций 1' и 2' показывает, что точка 1⁰ расположена выше точки 2⁰, поэтому при взгляде на плоскость Н точка 1⁰ (и прямая DE в этом месте) будет видна, а расположенная под ней точка 2⁰ (и прямая АВ) будет закрыта от наблюдателя.