- •Вопрос №1: (Матрицы. Линейные операции в множестве матриц. Их свойства. Понятие линейного пространства)
- •Линейные операции в множестве матриц.
- •Понятие линейного пространства.
- •Вопрос №2: (Операция умножения матриц. Её свойства. Алгебра квадратных матриц.) Умножение матриц.
- •Алгебра квадратных матриц.
- •Вопрос №3: (Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.)
- •Приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.
- •Вопрос №4: (Перестановки n элементов. Их количество. Инверсии. Четные и нечетные перестановки.)
- •Вопрос №5: (Транспозиция. Изменение четности перестановки при транспозиции любых двух ее элементов. Количество четных и нечетных перестановок n элементов.)
- •Вопрос №6: (Определитель квадратной матрицы. Вывод формулы вычисления определителя второго порядка из общего определения.)
- •Вопрос №7: (Определитель квадратной матрицы. Вывод формулы вычисления определителя третьего порядка из общего определения.)
- •Вопрос №8: (Определитель квадратной матрицы. Вывод формулы вычисления определителя верхней треугольной матрицы.)
- •Вопрос №9: (Определитель квадратной матрицы. Лемма о знаке члена определителя.)
- •Вопрос №14: (Определитель квадратной матрицы. Доказать свойство: Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.)
- •Вопрос №15: (Определитель квадратной матрицы. Доказать свойство: Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.)
- •Вопрос №16: (Как влияют на определитель матрицы элементарные преобразования ее строк. Возможность приведения матрицы к треугольному виду с сохранением ее определителя.)
- •Вопрос №17: (Определитель блочной треугольной матрицы.)
- •Вопрос №18: (Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).)
- •Вопрос №19: (Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о «фальшивом разложении» определителя по строке (столбцу).)
- •Вопрос №20: (Определитель Вандермонда. Критерий равенства его нулю.)
- •Вопрос №21: (Определитель произведения квадратных матриц.)
- •Что и требовалось доказать. Вопрос №22: (Определение обратной матрицы. Единственность обратной матрицы. Необходимое условие существования обратной матрицы.)
- •Вопрос №23: (Нахождение обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы.)
Вопрос №1: (Матрицы. Линейные операции в множестве матриц. Их свойства. Понятие линейного пространства)
Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов, записанная в круглых скобках или двойных прямых чертах. Если = – матрица квадратная. Если =1 – матрица – строка. Если =1 – матрица – столбец. Если в матрице все элементы, стоящие ниже главной диагонали равны 0, то такая матрица – верхняя треугольная. Если в матрице все элементы, стоящие выше главной диагонали равны 0, то такая матрица – нижняя треугольная. Все числа, входящие в матрицу называются ее элементами.
Если все элементы состоят их нулей, то это нулевая матрица, она играет роль нуля в матричном исчислении.
Две матрица считаются равными, если они одинакового размера и их соответствующие элементы совпадают.
Линейные операции в множестве матриц.
Сложение матриц.
Суммой двух матриц одинаковой размерности, называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых.( А и В, принадлежащих Rmxn) Полученная матрица, также принадлежит Rmxn.
Умножение матрицы на число.
По определению, чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число все элементы матрицы.
( А, принадлежащего Rmxn. α принадлежащего R) Полученная в результате матрица, также принадлежит Rmxn.
Свойства сложения матриц и умножения на число:
1) A+B=B+A, А и В принадлежащим Rmxn (Комутотивность)
2) (А+В)+С = А+(В+С), А, В и С принадлежащим Rmxn (Ассоциативность)
3) Существует такая нулевая матрица, принадлежащая Rmxn, такая что
О+А = А+О = А, А, принадлежащего Rmxn (Наличие нейтрального относительного сложения элементов)
4) А, принадлежащего Rmxn существует (-А),
принадлежащая Rmxn, такая что (-А)+А = А+(-А) = О
5) 1*А = А, А, принадлежащего Rmxn, 1 принадлежит R.
6) (α*β)*А = α*(β*А), А, принадлежащего Rmxn. Для любого
α и β, принадлежащих R.
7) α*(А+В) = α*А+ α*В, А и В, принадлежащих Rmxn. Для любого α и β, принадлежащих R.
8) (α+β)*А = α*А+β*А А, принадлежащего Rmxn. Для любого α и β, принадлежащих R.
Доказательство:
1) Свойства 1,2,5,6,7,8 верны для R, сложение и умножение определены по элементарным преобразованиям.
2) Свойство 3 выполняется в качестве нейтрального элемента. В качестве нейтрального элемента берется матрица, равная нулю.
3) Свойство 4 выполняется, так как для матрицы А существует матрица (-А) с противоположными А элементами.
Понятие линейного пространства.
Определение:
Множество V с введенными на нем линейными
операциями сложениями и умножением на число, обладающими свойствами 1-8, называется – линейным векторным пространством, таким образом, свойства 1-8, утверждают, что Rmxnявляется линейным пространством.
В любом линейном пространстве можно сконструировать разность, которая выглядит: А-В = А+(-1)*В, где А и В принадлежат V.
В любом линейном пространстве существует линейный комбинатор.
Определение:
Линейный комбинатор – это комбинатор элементов А1,……..,Ак , принадлежащих V с коэфицентами α1,…….,αк, принадлежащих R, называется выражение: α1 А1+ α2 А2+….+ αк Ак принадлежащих множеству V.