7 Упругие волны.

Деформации, рассматриваемые в рамках этого курса, предполагаются малыми. Это означает, что движения сплошной среды могут иметь только колебательный характер. Распространение колебаний в пространстве называется волнами. Поэтому движения в сплошной среде в случае малых деформаций представляют собой малые колебания и волны.

1 Волновые уравнения для однородной изотропной упругой среды.

Рассмотрим уравнение Ламе в форме (??), заменив в нем объемную плотность внешних сил их массовой плотностью , учитывая, что (см. (??).

Применим к этому уравнению операцию , учитывая, что :

Введем обозначение и учтем, что . Тогда:

(202)

Применяя к уравнению Ламе операцию и учитывая, что , получим:

Введем обозначение: . Тогда:

(203)

Уравнения (202) и (203), полученные из уравнения Ламе, являются неоднородными волновыми уравнениями. Эти волновые уравнения можно записать в другой форме.

Из векторного анализа известно, что любой вектор можно представить как сумму потенциального и соленоидального векторов. Напомним, что ротор потенциального вектора и дивергенция соленоидального вектора равны нулю. Разложим векторыы смещений и массовой силы таким образом:

(204)

(205)

Подставляя эти разложения в (202), получим:

Но в силу (205)

Из векторного анализа известно, что если во всем пространстве , то . Следовательно:

(206)

Аналогично получим:

(207)

Разложение (205) означает, что векторы и можно представить через потенциалы:

(208)

(209)

(210)

Потенциалы и называют скалярными, а и --- векторными. Поскольку скалярный и векторный потенциалы --- это четыре функции, а определяют они только три компоненты смещения, на потенциалы следует наложить дополнительное условие. Обычно полагают, что и . В этом случае

Подставляя (209) в (206) и (207), можно получить волновые уравнения для потенциалов:

(211)

и

(212)

Три пары волновых уравнений (202) --- (203), (206) --- (207) и (211) --- (212) получены как следствие уравнения Ламе --- уравнения движения однородной изотропной упругой среды. Это означает, что в такой среде могут распространяться волны, описываемые перечисленными волновыми уравнениями. Эти волны распространяются во всем объеме упругой среды и называются поэтому объемными волнами.

Волна ---это распространение колебаний в пространстве. А колебательное движение возникает в системе в том случае, когда имеется сила, стремящаяся возвратить выведенную из равновесия систему в ее исходное состояние. Противодействие этой силы и инерционности системы и обеспечивает колебательный процесс. Возвращающей силой в нашем случае являются упругие напряжения. Поэтому малые колебания и волны, возникающие благодаря им, называются упругими колебаниями и волнами.

Разложение (205) вектора смещения в упругой волне на два компонента соответствует разложению произвольной деформации на деформацию изменения объема и деформацию изменения формы элемента среды ( (??). Действительно, смещения отвечают изменению только формы, поскольку согласно (205). Смещения отвечают деформации изменения объема. В соответствии с этим уравнения (202), (206) и (??) описывают волну изменения объема элементов среды, а уравнения (203), (207) и (212) --- волну тскажения формы (волну формоизменения). Первые волны называются также безвихревыми, а вторые --- эквиволюминальными ( от volume ---объем).

Упругие волны могут возбуждаться действием массовых сил и усилий или смещений на поверхности среды. Вопрос о возбуждении упругих волн требует специального рассмотрения. Поэтому пока, для выяснения свойств упругих волн, будем считать, что в среде существует возмущение, пораждающее волну, не вдаваясь в подробности этого возмущения. Будем также считать, что массовые силы отсутствуют, т.е. в волновых уравнениях положим . Тем самым мы будем рассматривать свободные волны.

Резюме section 1.

В однородной изотропной упругой среде могут распространяться волны двух типов: волны изменения объема и волны формоизменения. Формирование этих волн обусловлено противодействием упругих сил и инерционности среды, поэтому указанные волны называются упругими. Упругие волны распространяются во всем объеме среды, в следствие чего их еще называют объемными.