3.6. Оптимальный синтез фильтров пав на основе обменного алгоритма ремеза

Рассмотренные выше методы синтеза позволяют проектировать фильтры ПАВ, отвечающие широкому кругу требований. Однако ни метод прямой свертки с весовой функцией, ни метод частотной выборки не гарантируют получение оптимальных характеристик. Под термином «оптимальный» будем понимать взвешенную чебышевскую аппроксимацию заданной АЧХ и ФЧХ фильтра, при ко­торой для заданных границ полос пропускания и заграждения минимизируется абсолютная величина ошибки АЧХ и ФЧХ на всем интервале рассматриваемых частот, а под термином «оптимальный синтез» — истоды синтеза фильтров, обладающих оптимальными (в чебышевском смысле) АЧХ и ФЧХ.

Задачи оптимального синтеза аналоговых LC- и СВЧ фильтров решались [21] на основе методов линейного и нелинейного про­граммирования, а в [24] сформулирована задача аппроксимации требуемой характеристики цифрового фильтра нижних частот для двух раздельных интервалов — полосы пропускания и полосы заграждения без определения характеристик в переходной поло­се, и показано, что обменный алгоритм Ремеза [63] является эф­фективным средством для расчета фильтров с оптимальными характеристиками.

В [52] показано, что методы проектирования нерекурсивных цифровых фильтров на основе линейного и нелинейного програм­мирования при соответствующей доработке могут быть использо­ваны для оптимальных синтезов фильтров ПАВ. Хотя линейное программирование является весьма гибким инструментом и может быть использовано для аппроксимации характеристик широкого класса фильтров ПАВ, оно представляет собой сравнительно мед­ленный вычислительный процесс, что ограничивает полосу пропус­кания рассчитываемых с его помощью фильтров f/f₀2040%. Нелинейное программирование при сравнимых параметрах рассчи­тываемого фильтра требует еще больших затрат машинного вре­мени. Поэтому для расчета оптимальных фильтров ПАВ предло­жено [54] использовать обменный алгоритм Ремеза [63], который решает чебышевскую аппроксимационную задачу посредством поиска экстремальных частот наилучшего приближения. Отличи­тельной особенностью этого метода является осуществление опти­мальной чебышевской аппроксимации частотных характеристик ВШП на нескольких полосах рассматриваемого интервала частот при заданной длительности импульсной характеристики. В каче­стве исходных данных используются точные значения нескольких полос пропускания и заграждения и относительные уровни этих полос, как показано на рис. 3.18.

В каждом из шести вариантов построения ВШП с линейной и нелинейной фазой (см. табл. 2.5) передаточная функция H(i)=D()e^i() и действительные характеристики D(), R() и J() являются линейными комбинациями различных базисных функций. Для использования в алгоритме Ремеза единой процедуры вычис­лений, а также для удобства дальнейших выкладок и расчетов удобнее свести все случаи к одному с косинусными функциями в качестве базисных [43].

Используя тригонометрические соотношения и , указанные действительные характеристики из табл. 2.5 можно переписать в виде произведений D()=Q₁()P(), R()=Q₂()P(), J()=Q₃()P(), где —линейная комбинация косинусов. В табл. 3.6 приведены формулы для вычисления характеристик D(), R(), J() и коэффициентов импульсной характеристики h(nT₀) преобразователя через коэффициенты соответствую­щие линейной комбинации Р() для всех шести вариантов по­строения ВШП.

Рис. 3.18. Определение частотной характеристики оптимального полосового фильтра ПАВ

Выражая перечисленные функции через сомножители Q_j() и P_j(), уравнения (3.9) нормы функции ошибки для общего слу­чая ВШП с нелинейной фазой можно переписать в виде

(3.22)

где ; ; ; — соответственно модифицированные функции ошибки, модуль, действительная и мнимая части передаточной функции ВШП;

Теперь задача чебышевской аппроксимации сводится к опреде­лению последовательности коэффициентов минимизирующих функцию ошибки E_1,2 (). По теории чебышевской аппроксимации компактных множеств задача, аналогичная (3.22), имеет единственное решение, а необходимые условия, ха­рактеризующие наилучшую аппроксимацию, выражаются теоремой чередований Чебышева [41], которая применительно к расчету ВШП может быть сформулирована следующим образом [54].

Пусть Р()—линейная комбинация R косинусных функций, т. е. . Тогда необходимое и достаточное условие того, что Р() будет единственным и наилучшим взвешенным чебышевским приближением к некоторой непрерывной функции интервале частот [0, _s/2], состоит в том, что взвешенная функ­ция ошибки E() должна иметь на 2F по крайней мере R+1 экстремальных частот, т е. на 2F должно существовать R+1 то­чек _j таких, что ₁<₂<…<_R<_R+1, и таких, что и . Для решения аппроксимационной задачи в случае ВШП с

Таблица 3.6. Формулы для вычисления сомножителей Q_i(), Рj() и коэффициентов a_n

Вариант	Функция	Сомножители		Коэффициенты аn импульсной характеристики
		Qj()	Pj()
Вариант 1: A=2N+1	D()	1,0
Вариант 2: A=2N	D()
Вариант 3: A=2N+1	D()
Вариант 4: A=2N	D()
Вариант 5: A=2N	R() J()
Вариант 6: A=2N+1	R() J()	1,0

нелинейной фазой, когда заданная передаточная функция H(i) состоит из четной действи­тельной R() и нечетной мнимой J() составляющих, следует до­полнительно использовать лемму Бернштейна [41], которая при­менительно к синтезу ВШП и фильтров ПАВ звучит следующим образом.

Если множество ±2F₁ симметрично относительно начала ко­ординат и базисные функции ₁(),…,_n+1() аппроксимирующей системы распадаются на две группы функции первой группы ₁(), ₂(),…, _l() — четные и функции второй группы _l+1(), _l+2(),…, _R+1() — нечетные, то наилучшее приближе­ние данной функции H(i) на множестве ±2F₁ при помощи обоб­щенных полиномов всей системы то же, что при помощи только полиномов первой (четной) группы, когда H(i) — четная функ­ция, а когда H(i) — нечетная функция, то оно равно наилучше­му приближению при помощи полиномов только нечетной группы.

Поиск же оптимальных решений для коэффициентов а_п им­пульсной характеристики и экстремальных частот _j осуществля­ется с помощью обменного алгоритма Ремеза следующим образом.

Сначала производится начальное определение R+2 экстремаль­ных частот _о, ₁,…, _R+1, _j_j+1, на которых функция ошибки имеет попарно противоположные значения ±_j. Для этого потре­буется решение R+2 уравнений

W(_j)[K(_j)-P(_j)]=-(-1)ⁱ; j=0, 1, 2,…, R+1.

Для вычисления  наиболее эффективным оказывается анали­тический способ [43, 54]

(3.23)

где и

После вычислений  для интерполяции Р() по значениям в R точках ₀, ₁, ... _R-1 используется интерполяционная формула Лагранжа в ба­рицентрической форме [63]

где

(3.24)

Далее вычисляется функция ошибки E(_о) и находятся часто­ты локальных экстремумов {_о}, о=0, 1, 2, ..., R+l, функции Е(_j). Если на некоторых из этих частот условия E(_j)=-E(_j+1) и _j=|E(_j)|< не выполняются, то в качестве предполагаемых значений экстремальных частот выбирается уже новый ряд R—1 частот {_j+1}. Новые точки выбираются как пиковые точки кривой результирующей ошибки, что способствует приближению _j к ее верхней границе , которая является конечной щелью решения за­дачи. Если на какой-либо итерации экстремумов у E(_j) больше, чем R+1, то в качестве исходного ряда экстремальных частот ос­тавляют только те значения, на которых |E(_j)| принимает наи­большее значение, и процесс вычисления а₀, а₁,…, а_R-1 и _j повто­ряется. Описанный итерационный процесс достаточно быстро схо­дится.

При проектировании фильтров ПАВ апертура электродов ВШП выбирается обычно равной (30—80)_o; наличие же дифракции и краевых эффектов ограничивает минимальное перекрытие штырей величиной около /4. Поэтому допустимый интервал изменений коэффициентов а_п составляет около 200:1. При нормированном а_п<0,005 процесс вычислений по описанному алгоритму может быть прекращен, после чего необходимо увеличить апертуру и чис­ло электродов ВШП.

Первым шагом при расчете ВШП с оптимальными характерис­тиками является определение длительности Т импульсной харак­теристики или числа электродов А преобразователя исходя из за­данных переходных полос f_sj от области пропускания к области заграждения и величина пульсации и вз в этих областях. В слу­чае ВШП с многополосной АЧХ, показанной на рис. 3.18, можно считать, что АЧХ образована несколькими эквивалентными фильт­рами нижних или верхних частот. При таком предположении чис­ло электродов ВШП можно оценить по формуле для цифрового фильтра нижних частот [24]:

(3.25)

где —нормированная j-переходная полоса. Поскольку при расчете ВШП с многополосной АЧХ необходимо учитывать большое количество параметров (величина пульсации в различных полосах, границы полос и т. п.), однозначную связь между которыми установить практически невозможно, число электродов А необходимо выбирать наибольшим из полученных по формуле (3.25) для различных _sj. При сильном различии значений A₁, A₂,..., A_j пульсации _пj или _3j будут занижены для какой-нибудь полосы j, что приведет к немонотонности и выбросам АЧХ в пере­ходных полосах _sj.

Удовлетворительные характеристики многополосного ВШП воз­можны при соблюдении условия A₁A₂…A_j…A_pj для всех P_j полос. Условие A_j=const можно удовлетворить при сле­дующих изменениях исходных параметров ВШП:

сужая некоторые переходные полосы _sj путем расширения полос заграждения и увеличения A_j для этих полос;

уменьшая пульсации _пj или _3j для некоторых полос j и так­же увеличивая A_j.

Первый способ предпочтительнее, так как в этом случае гра­ницы полос пропускания остаются неизменными, а скаты АЧХ становятся круче. Второй же способ может привести к чрезмер­ному увеличению A_j, так как типичная величина пульсации в по­лосах заграждения ВШП составляет _пj=10^-310^-4 (-6080дБ), а в полосах пропускания _пj=(215)10^-3(0,10,3дБ).

Из рис. 3.19, на котором показаны зависимости уровня пульсации ₃ для трехполосного ВШП от числа электродов и ширины пере­ходной полосы при f₀=35 МГц и f₃=5 МГц (f₃/ f₀=14,3%,), вид­но, что пульсации ₃ в полосе заграждения ВШП с оптимальными характеристиками уменьшаются с ростом числа электродов А и расширением переходной полосы f₃. При этом для постоянной ве­совой функции W() уровень пульсации ₃ остается неизменным во всей полосе заграждения в отличие от ВШП, рассчитанных по методам прямой свертки с весовой функцией или частотной вы­борки.

Для постоянного числа электродов А значение ₃ резко падает с увеличением весовой функции W(). При одной и той же длине импульсной характеристики ВШП и величине пульсации ₃ в по­лосе заграждения коэффициенты импульсной характеристики оптимального преобразователя в 2 раза больше аналогичных ко­эффициентов, полученных при расчете по методу прямой свертки с весовой функцией Кайзера. Поэтому в оптимальных ВШП иска­жения характеристик вследствие дифракции ПАВ будут меньше.

Экстремальные точки функции ошибки E() для оптимального ВШП расположены на частотах, где dE()/d=dH(i)/d=0. В соответствии с теоремой чередований имеет R нулей на интервале 2Р; возможными дополнительными экстремумами являются граничные точки полос пропускания и заграждения. Поэтому максимальное число пульсации M_s многополосной АЧХ оптимального ВШП будет

0,5(A+3)M_s0,5(A+1)+2(P_j-1) (3.26)

для нечетного числа электродов и для четного числа

0,5(A+2)M_s0,5A+2(P_j-1), (3.27)

где P_j — число полос в АЧХ преобразователя.

На рис. 3.20 показана АЧХ (Л =210) преобразователя фильт­ра ПАВ, удовлетворяющего требованиям к частотной характерис­тике УПЧИ телевизионных приемников по ГОСТ 18198—79. Для оптимального синтеза частотную область 0/_s0,5 пришлось разделить на четыре полосы.

Применение весовой функции W_I()=12/(l—4,05)/_s) позво­лило получить глубокую режекцию на частоте 30,0 МГц (до -68,1 дБ) и некоторое увеличение затухания (до -56,25 дБ) в полосе заграждения f_IV.

В заключение можно сделать вывод, что метод синтеза ВШП на основе обменного алгоритма Ремеза, обеспечивающий одно­временное получение оптимальных АЧХ и ФЧХ, имеет несомнен­ное преимущество и может быть рекомендован для широкого ис­пользования при проектировании фильтров ПАВ. Для расчетов (в том числе и ручным способом) фильтров с нежесткими требова­ниями к границам частотных характеристик следует использовать метод прямой свертки, а для синтеза ВШП со сложными переда­точными функциями рекомендуется метод частотной выборки.