Лабораторная работа №51
.doc-
Цель работы
Ознакомиться с методами решения задач матричных игр методами линейного программирования.
-
Выполнение работы
В корзине лежат два шара - белый и черный. Игроку требуется угадать сколько черных шаров лежит в корзине. Если игрок предлагает правильный ответ, то его выигрыш составляет 5. Если его ответ отличается от правильного на один или два, то выигрыш составляет 3 или 1 соответственно. Стоимость игры – 2.
Решение
Составляем платежную матрицу – матрицу выигрышей игрока 1.
|
0 |
1 |
2 |
αi |
0 |
3 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
3 |
1 |
1 |
2 |
-1 |
1 |
3 |
-1 |
βj |
3 |
3 |
3 |
3/1 |
Матричная игра сводится к задаче линейного программирования
Прежде всего, проверим, не имеет ли платежная матрица седлового элемента.
Находим ; .
Для игр без седловых точек оптимальные стратегии игроков находятся в области смешанных стратегий. Так как , то решением игры будут смешанные стратегии, а цена игры заключена в пределах . По матрице игры составляем задачи линейного программирования.
Для игрока 1
В результате решения этой задачи получим:
Значение игры
– вероятность применения стратегии № 1 (т.е. называть число 0)
– вероятность применения стратегии № 3 (т.е. называть число 2)
Оптимальные стратегии 1 и 3. Выигрыш игрока 1 будет составлять не менее 1, если он будет называть числа 0 и 2 с вероятностями 0,5.
Для игрока 2
В результате решения этой задачи получим:
Значение игры
– вероятность применения стратегии № 1 (т.е. класть 0 черных шаров)
– вероятность применения стратегии № 3 (т.е. класть 2 черных шара)
Оптимальные стратегии 1 и 3. Проигрыш игрока 2 будет составлять не более 1, если он будет класть 0 либо 2 черных шара с вероятностями 0,5.
-
Вывод
В лабораторной работе были изучены матричные игры. Матричные игры сводятся к задачам линейного программирования