Правила дифференцирования
1.
2.
3.
4.
Таблица производных элементарных функций
1.
В частности
;
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Здесь а= const, u-u(x)/если
u(x)=x
, то
.
Правило Лопиталя – Бернулли
применяется для раскрытия неопределенностей
при вычислении пределов функции:
, т.е. если функции дифференцируемы, то
предел отношения функций равен пределу
отношения их производных.
Если после применения правила Лопиталя неопределенность сохраняется , то правило следует применить еще раз.
Пример:
В
этом примере правило Лопиталя использовали
три раза.
Интегральное исчисление функции одной вещественной переменной
Определение: Дифференцируемая
функция F(x)
называется первообразной функции f(x),
если в каждой точке интервала (a;b)
справедливо равенство
Пример: Пусть f(x)=1
. тогда F(x)=
х, т.к.
Первообразная для функции определяется
неоднозначно. Если функция F(x)=
х является первообразной для f(x)=1,
то и функция G(x)=x+c
, где с- произвольная постоянная, также
является первообразной для f(x)=1
, т.к.
Определение: Множество всех
первообразных функции называется
неопределенным интегралом и обозначается
=F(x)+C, где С-произвольная постоянная
Интегралы вычисляются с помощью таблицы основных неопределенных интегралов и правил вычисления интегралов.
Связь между неопределенным интегралом и дифференциалом выражается формулами:
1)
( или
)
2)
Правила вычисления интегралов
Правило 1. Постоянную можно выносить за знак интеграла, т.е.
, где α- любое число
Правило 2. Интеграл от суммы
равен сумме интегралов, т.е.
Правило 3 . Интегрирование по частям
Пусть u и v
–дифференцируемые функции. Тогда
Правило 4. Замена переменной
Пусть x=φ(x),
где φ(х)- дифференцируемая функция
переменного t. Тогда
, при этом в правой части формулы
переменная должна быть выражена через
х, исходя из замены х=
Примеры:
1.
(использовали
первое правило и таблицу)
2.
При вычислении данного интеграла использовали метод интегрирования по частям и таблицу интегралов.
Варианты контрольной работы
1-13. Вычислите указанные пределы.
1. а)
б)
2. а)
б)
3. а)
б)
4. а)
б)
5. а)
б)
6. а)
б)
7. а)
б)
8. а)
б)
9. а)
б)
10. а)
б)
11. а)
б)
12. а)
б)
13. а)
; б)
14-26. Найти
производную
данных функций.
1. а) y=arctg
;
2. а)
;
3. а)
4. а)
5. а)
6. а)
7. а)
8. а)
9. а)
10. а)
;
11. а)
12. а)
13. а)
27-39. Найти
наибольшее и наименьшее значение функции
y=f(x)
на отрезке
.
1.
на отрезке
2.
на отрезке
3.
на отрезке
4.
на отрезке
5.
на отрезке
6.
на отрезке
7.
на отрезке
8.
на отрезке
9.
на отрезке
10. на отрезке
11.
на отрезке
12.
на отрезке
13.
на отрезке
40-52. Найти неопределенные интегралы.
1. а)
;
б)
2. а)
;
б)
3. а)
dx
;
4. а)
;
5. а)
6. а)
7. а)
8. а)
9. а)
10. а)
11. а)
12. а)
13. а)
