1. Построение нечёткого дерева решений

В данном разделе необходимо построить нечеткое дерево решений, с помощью которого определить рейтинг выбора места организации магазина, который посещают 50 000 тысяч человек за месяц и расстояние до базы 40 км.

В таблице 1 представлены данные о семи местах организации магазина: проходимость (определена, исходя из оценок, выставляемых рейтинговым агентством), расстояние до базы (в километрах) и рейтинг (определен экспертом).

Табл. 1  данные о месте организации магазина

№	Проходимость	Расстояние	Рейтинг
D1	10.000	5	0,0
D2	15.000	15	0,0
D3	25.000	20	0,3
D4	30.000	25	0,4
D5	35.000	40	0,5
D6	40.000	35	0,8
D7	55.000	30	1

1. Определение лингвистических переменных

1. х₁: «проходимость»;

Х: 0;60.000;

Т(х): «низкая», «средняя», «большая»;

G: «достаточно», «недостаточно»;

М: задано таблично (таблица 2).

2. х₂: «расстояние»;

Х: 0, 50;

Т(х): «малое», «среднее», «большое»;

G: «достаточно», «недостаточно»;

М: задано таблично (таблица 3).

Табл.2  Табличное представление семантического правила для х₁

№	Проходимость
	низкая	средняя	большая
D1	1,0	0,0	0,0
D2	0,8	0,2	0,0
D3	0,5	0,5	0,0
D4	0,2	0,8	0,0
D5	0,0	0,5	0,5
D6	0,0	0,0	1,0
D7	0,0	0,0	1,0

№	Расстояние
	маленькое	среднее	большое
D1	1,0	0,0	0,0
D2	0,4	0,6	0,0
D3	0,0	1,0	0,0
D4	0,0	0,8	0,2
D5	0,0	0,0	1,0
D6	0,0	0,1	0,9
D7	0,0	0,2	0,8

2. Построение функций принадлежности

Общий вид функций принадлежности лингвистических переменных показан на рисунке 1.

1

0 Проходимость

1

0 Расстояние

Рис.1  Графики функции принадлежности

3. Расчёт e(sn), g(sn)

Необходимо найти значение общей энтропии:

Р_да = 0+0+0,3+0,4+0,5+0,8+1,0= 3

Р_нет =1,0+1,0+ 0,7+0,6+0,5+0,2+0=4

Р= Р_да +Р_нет =7

Рассчитываем значение энтропии E(S^N), воспользовавшись формулой :

E(S^N)= -3/7log₂3/7 – 4/7log₂4/7  0,985 бит

Рассчитаем E(S^N, проходимость).

E(S^N, проходимость, низкая):

Р_да^низкая=min(0;1)+min(0;0,8)+min(0,3;0,5)+min(0,4;0,2)+min(0,5;0)+min(0,8;0)+min(1;0)=0+0+0,3+0,2+0+0+0=0,5

Р_нет^низкая=min(1;1)+min(1;0,8)+min(0,7;0,5)+min(0,6;0,2)+min(0,5;0)+min(0,2;0)+ min (0;0)=1+0,8+0,5+0,2+0+0+0=2,5

Р^низкая= Р_да +Р_нет =0,5+2,5=3,0

E(проходимость, низкая)= - 0,5/3,0 log₂0,5/3,0-2,5/3,0 log₂2,5/3,0=0,65 бит

Рассчитаем E(S^N, проходимость, средняя).

Р_да^{средняя}=min(0;0)+min(0;0,2)+min(0,3;0,5)+min(0,4;0,8)+min(0,5;0,5)+min(0,8;0)+min(1;0)=0,3+0,4+0,5=1,2

Р_нет^{средняя}= min(1;0)+min(1;0,2)+min(0,7;0,5)+min(0,6;0,8)+min(0,5;0,5)+min(0,2;0)+min(0;0)=0,2+0,5+0,6+0,5=1,8

Р^{средняя}= 1,2+1,8=3

E(проходимость, средняя)= - 1,2/3 log₂1,2/3-1,8/3 log₂1,8/3=0,97 бит

Рассчитаем E(S^N, проходимость, большая).

Р_да^{большая}=min(0;0)+min(0;0)+min(0,3;0)+min(0,4;0)+min(0,5;0,5)+min(0,8;1)+min(1;1)=0,5+0,8+1=2,3

Р_нет^{большая}=min(1;0)+min(1;0)+min(0,7;0)+min(0,6;0)+min(0,5;0,5)+min(0,2;1)+min(0;1)=0,5+0,2=0,7

Р^{большая}= 2,3+0,7=3

E(проходимость, большая)= - 2,3/3 log₂2,3 /3-0,7/3 log₂0,7/3=0,78 бит

_{Табл. 4  итоги расчетов для х}1

	низкая	средняя	большая
Рда	0,5	1,2	2,3
Рнет	2,5	1,8	0,7
E, бит	0,65	0,97	0,78

Найдём энтропию, воспользовавшись формулой:

E(S^N ,проходимость)= - 2,5/7 0,65+1,8 /70,97+ 0,7/7 0,78=0,56 бит

Рассчитаем прирост информации для данного атрибута.

G(S^N,проходимость)= 0,98-0,56= 0,42 бит

Рассчитаем E(S^N, расстояние).

E(S^N, расстояние, маленькое):

Р_да^{маленькое}=min(0;1)+min(0;0,4)+min(0,3;0)+min(0,4;0)+min(0,5;0)+min(0,8;0)+min(1;0)=0

Р_нет^{маленькое} =min(1;1)+min(1;0,4)+min(0,7;0)+min(0,6;0)+min(0,5;0)+min(0,2;0)+ min(0;0)=1+0,4=1,4

Р^{маленькое}= Р_да +Р_нет =0+1,4=1,4

E(расстояние,маленькое)= - 0/1,4 log₂0/1,4-1,4/1,4 log₂1,4/1,4=0 бит

E(S^N, расстояние,среднее):

Р_да^{среднее}=min(0;0)+min(0;0,6)+min(0,3;1)+min(0,4;0,8)+min(0,5;0)+min(0,8;0,1)+min(1;0,2)=1

Р_нет^{среднее}=min(1;0)+min(1;0,6)+min(0,7;1)+min(0,6;0,8)+min(0,5;0)+min(0,8;0,1)+ min(1;0,2)=0,6+0,7+0,6+0,1+0,2=2,2

Р^{среднее}= Р_да +Р_нет =1+2,2=3,2

E(расстояние,среднее)= - 1/3,2 log₂1/3,2-2,2/3,2 log₂2,2/3,2=0,896 бит

E(S^N, расстояние,большое):

Р_да^{большое}=min(0;0)+min(0;0)+min(0,3;0)+min(0,4;0,2)+min(0,5;1)+min(0,8;0,9)+min(1;0,8)=0,2+0,5+0,8=0,8=2,3

Р_нет^{большое}=min(1;0)+min(1;0)+min(0,7;0)+min(0,6;0,2)+min(0,5;1)+min(0,2;0,9)+ min(0;0,8)=0,2+0,5+0,2=0,9

Р^{большое}= Р_да +Р_нет =2,3+0,9=3,2

E(расстояние,большое)= - 2,3/3,2 log₂2,3/3,2-0,9/3,2 log₂0,9/3,2=0,857 бит

_{Табл. 5  итоги расчетов для х}2

	маленькое	среднее	большое
Рда	0	1	2,3
Рнет	1,4	2,2	0,9
E, бит	0	0,896	0,857

E(S^N, расстояние)= 1,4/70+2,2/70,896+0,9/70,857=0,391 бит

G(S^N,расстояние)= 0,985-0,391= 0,594 бит

Максимальны прирост информации обеспечивает атрибут «расстояние», следовательно, разбиение начнется с него.