6.3. Критерій Колмогорова — Смирнова

Ще один широко використовуваний критерій для статистичної перевірки гіпотез був запропонований Смирновим в 1939 р. і в подальшому розвинений самим автором і Колмогоровим.

Він застосовується в тих випадках, коли розподіл, що перевіряється, безперервний і відомі середнє і дисперсія досліджуваної сукупності. Таб­лиця його критичних значень була опублікована Смирновим в 1948 р. і багато разів перевидавалася. Подібно до критерію критерій Колмогорова — Смирнова може бути використаний для перевірки відповідності між розподілом сукупності емпіричних даних і деяким конкретним теоретичним розподілом. Перевірка здійснюється шляхом завдання інтеграль­ної функції, яка витікає з теоретичного розподілу, і її порівняння з інтегральною функцією розподілу емпіричних даних.

Порівняння ґрунтується на вибірковій групі, в якій екс­периментальний розподіл має найбільше абсолютне відхилення від теоретичного. Далі ця абсолютна різниця порівнюється з критичними значеннями (див. додаток В.2 [4]) з метою визначення, чи може таке відхилення бути випадковим при даному законі розподілу.

ПРИКЛАД 7.3. Для ілюстрації візьмемо дані таблиці 7.2, які вже перевіряли по критерію на відповідність розподілу Пуассо­на (приклад 7.1). Раніше для цієї сукупності даних було обчислено = 0,5577. Гіпотеза Н₀ полягає в тому, що немає суттєвих відмінностей між спостережуваними даними і тими, які повинні одержуватись в разі розподілу Пуассона, з середнім значенням 0,5577 і n = 509. Перш за все необхідно отримати два інтегральних розподілу — із спостережуваних даних і з тео­ретичного розподілу — и знайти абсолютні різниці для всіх груп значення випадкової величини. Це виконано в таблиці 7.7.

Таблиця 7.7

Обчислення при використанні критерію Колмогорова — Смірнова

Число запитів	I Частота,що спостері- гається	II Ймовірність що спостеріг.	III Теоретична ймовірність	IV Інтегральнаймовірність II	V Інтегральнаймовірність III	VI Абсолютна різниця (IV-V)
0	315	0,619	0,571	0,619	0,571	0,048
1	142	0,279	0,319	0,898	0,890	0,008
2	40	0,078	0,089	0,976	0,979	0,003
3	9	0,018	0,017	0,994	0,996	0,002
4	2	0,004	0,003	0,998	0,999	0,001
5	1	0,002	0,001	1,000	1,000	0,000

У таблиці 7.7 найбільша абсолютна різниця 0,048 виходить в групі, відповідній нульовому числу запитів. Саме цю різницю треба порівняти з критичним значенням, знайденим по додатку В.7 [4]. З цієї таблиці видно, що при n = 509 і = 0,05 критичне значення

.

Оскільки одержана найбільша різниця 0,048 менше за критичного значення, не відмовляємося від гіпотези про те, що екс­периментальний розподіл - пуассонівський.

Природно, виникає питання, коли слід користуватися критерієм , а коли критерієм Колмогорова — Смирнова? При відносно малих об'ємах вибірок критерій взагалі не­придатний, і слід користуватися критерієм Колмогорова—Смір­нова. До того ж, коли об'єм вибірки настільки малий, що для користування критерієм доводиться об'єднувати сусідні груп­и, потужність цього критерію значною мірою знижується. Одна­к, якщо об'єм вибірки великий, переважний, по всій ймовірності, критерій .

Кожен з критеріїв має свої сильні і слабкі сторони, і відносно вибору між ними можна дати лише самі загальні вказівки. Критерій дуже потужний для великих вибірок (n > 100); що ж до критерію Колмогорова — Смирнова, то, хоча деякі автори (наприклад, [2, 3]) вказують, що отримували з ним добрі результати лише для n 30, немає достатніх підстав проти вживання цього критерію і при . При об'ємі вибір­ки менше 10 кращих результатів дає, мабуть, критерій Краме­ра — фон Мізеса [1, 3]. При використанні як критерію, так і критерію Колмогорова — Смирнова дослідник має мож­ливість задати число груп або інтервалів вибірки. Правильний вибір цього числа має велике значення, оскільки воно визначає число ступнів свободи при користуванні критерієм, а взагалі кажучи, чим більше це число, тим надійніше критерій розрізняє характер розподілу. В разі критерію число груп часто визначається з умови, аби в кожну групу попало не менше п'яти експериментальних точок. В той же час в разі використання критерію Колмогорова — Смірнова дані можна як групувати, так і відносити кожне спостереження до окремої групи; остання умова відкриває можливість ефективного аналізу при малих вибірках.