Следствия теоремы о полноте.

Следствие 1.

Исчисление высказываний L является разрешимой теорией, т.е. существует алгоритм, который по любой заданной формуле позволяет узнать, является ли она теоремой исчисления высказываний. Простейший алгоритм – таблица истиности, если формула тавтология, то она теорема, если нет, то нет.

Следствие 2.

Исчисление высказываний непротиворечивой теории, т.к. в нем одновременно не выводятся А и ~А. Т.к. они не могут быть истинны одновременно, то только 1 из них может оказаться тавтологией, значит и теоремой.

28. Закон снятия двойного отрицания и вывод из противоречивых гипотез.

Рассмотрим лемму: если имеются доказательства того, что из а) Г и ~X |- Y и из б) Г и ~X |- ~Y => Г|-X. Это лемма о снятии отрицания с гипотезы.

Доказательство

1. Из а) по теореме дедукции получаем доказательство: Г|-~X->Y

2. Из б) по теореме дедукции Г|-~X->~Y

3. В схему аксиом А3 подставляем вместо В Х, вместо А Y. Получаем: ((~X->~Y)->((~X->Y)->X)

4. По МР из 3 и 2: (~X->Y)->X

5. По МР 4 и 1: X

Теорема. Закон снятия двойного отрицания.

~~X|-X или |-~~X->X

Доказательство:

1. Из ~~X, ~X|-~X

2. Из ~~X, ~X|-~~X

3. В рассмотренной лемме принимаем Y=~X, получаем ~~X|-X

29. Теорема опровержения гипотезы.

Из доказательства противоречия на основе гипотез можно получить опровержение любой из гипотез на основе остальных.

Это теорема об опровержении гипотезы.

Если имеется доказательства из Г и Х формулы У и ~Y, то Г|-~X.

Доказательство:

1. Из множества Г по теореме дедукции и утверждения а) выводима X->Y

2. По закону снятия двойного отрицания выводима |-~~X->X значит из Г|- ~~X->X

3. Исходя из б) и теоремы дедукции из Г|- ~~X->Y

4. С помощью теоремы дедукции: Г|-X->~Y

5. По следствию из теоремы дедукции и закону снятия двойного отрицания из Г|-~~X->~Y

6. В схему аксиом А3 подставляем В:=~X, A:=~Y: (~~X->~Y)->((~~X->Y)->~X)

7. По МР 6 и 5 (~~X->Y)->~X

8. По 7 и 3 ~X

30. Закон снятия двойного отрицания.

Этот закон используется в теореме о полноте (снятия двойного отрицания). Некорректно исходить самой этой теоремы при доказательстве.

X|-~~X или |-X->~~X

Доказательство:

1. ~X,X|-X

2. ~X,X|-~X

3. По теореме опровержения гипотез, в которой в качестве отрицания выступает Х получаем: X|-~~X

4. По теореме дедукции |-X->~~X

Если в исчислении высказывания можно было доказать противоречие, то можно было бы доказать всЁ. Формально из X,~X|-Y.

Возьмем множество гипотез

1. X,~X,~Y|-X

2. X,~X,~Y |- ~X

Это случай описанный в лемме о снятии отрицания с гипотез. Получаем X,~X|-Y

Эта теорема устанавливает факт, что когда в целях убеждения аудитории используют противоречивые основания и гипотезы, в дальнейшем наукообразно можно вывести любой факт. Такое свойство отличает псевдонаучную теорию от научной. Целые системы, построенные на противоречивых посылках встречают в политике, экономике и т.д.