Элементарные делители.

Введение: ! – квадратная -матрица порядка . – инвариантные множители матрицы . !, далее, –непостоянный инвариантный множитель. Разложим его следующим образом: на произведение различных неприводимых над полем унитарных многочленов.

Опр.: Многочлены –элементарные делители инвариантного множителя . Говорят, что элементарный делитель принадлежит многочлену .

Опр.: Элементарными делителями матрицы называется набор элементарных делителей её непостоянных инвариантных множителей.

Теорема: Порядок, ранг и элементарные делители квадратной -матрицы однозначно определяют инвариантные множители .

Доказательство усматривается из примера: ! –квадратная матрица порядка 6, и элементарные делители . Имеет 6 инвариантных делителей множителей: , т.к. , то . Поскольку делят , то . Оставшиеся элементарные делители: , т.к. делят , то . Остаётся 1 элементарный делитель .

Теорема (об элементарных делителях диагональной -матрицы): ! – диагональная -матрица. Тогда система элементарных делителей совпадает с объединением элементарных делителей её непостоянных диагональных элементов.

Теорема (об элементарных делителях клеточно-диагональной матрицы): Если –клеточно-диагональная матрица, то система её элементарных делителей есть объединение её элементарных делителей.

Теорема (критерий подобия матриц): Матрицы и подобны их характеристические матрицы эквивалентны.

Доказательство: ! , т.е. . Тогда , а значит (матричный признак эквивалентности).

Нормальная форма Жордана.

Лемма: ! – клетка Жордана порядка . Тогда имеет 1 элементарный делитель .

Доказательство: . Мы имеем , т.к. – это унитарный многочлен, то . Заметим, что 1 из миноров матрицы порядка равен 1 (он получает вычеркиванием 1-го столбца и последней строки) .

Теорема Жордана: ! - квадратная матрица с коэффициентами из поля и разлагается в поле на линейные множители. Тогда матрица подобна жордановой матрице . При этом матрица единственна с точностью до порядка расположения клеток Жордана.

Замечание: Если – алгебраически замкнутое поле, например, поле , то матрица с коэффициентами из подобна жордановой матрице.

Доказательство: ! – квадратная матрица порядка . – характеристическая матрица для . полный набор элементарных делителей -матрицы. . Заметим, что , т.к. произведение многочленов совпадает с многочленом степени . Построим матрицу порядка следующим образом , где –клетка Жордана порядка , у которой на диагонали стоит . В силу леммы и по теореме об элементарных делителях клеточно диагональной –матрицы система является и полным набором элементарных делителей матрицы и имеет одинаковый набор инвариантных множителей, а значит, они эквивалентны (критерий эквивалентности в терминах инвариантных множителей). Итак, . Теперь по критерию подобия подобна . Единственность: ! , где – жордановы матрицы. Отсюда выводим , т.е. и подобны. По критерию подобия и эквивалентны. Поэтому эти матрицы имею одинаковый набор инвариантных делителей. Теперь, в силу леммы и теоремы об элементарных делителях клеточно-диагональной матрицы, получаем, что и состоят из одних и тех же клеток Жордана.

Теорема (критерий диагонализируемости матрицы над полем): Квадратная матрица подобна диагональной матрице все элементарные делители матрицы имеют 1-ю степень.

Доказательство: ! элементарные делители имеют 1-ю степень, т.е. в системе (см. доказательство теоремы Жордана): . Поэтому матрица диагональная. ! подобна диагональной матрице матрице – полный набор элементарных делителей матрицы . Но эквивалентна (критерий подобия), а, значит, имеет тот же набор элементарных делителей.