Общая теория линейных систем.

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений , где , –матрица системы , - расширенная матрица системы .

Теорема (Кронекера-Капелли): Система совместна (имеет хотя бы одно решение) .

Доказательство: ! совместна и – решения этой системы. Тогда ввиду последний столбец матрицы есть линейная комбинация столбцов матрицы . Если – линейная оболочка столбцов - линейная оболочка столбцов , (всегда ), то тогда . ! последний столбец матрицы есть линейная комбинация столбцов . Если – коэффициент этой линейной комбинации, то – решение системы , а значит и системы .

Однородное линейное уравнение.

Опр.: Система линейных уравнений вида называется однородной, если последний столбец нулевой. Такая система всегда совместима, т.к. имеет решение Решение будем записывать в виде .

Лемма: Если – множество всех решений системы , то – подпространство пространства .

Доказательство: Очевидно, . Если , . Далее, –подпространство.

Опр.: база называется фундаментальной системой решений системы .

Опр.: Рангом системы называется ранг матрицы , где .

Теорема (об однородных линейных уравнениях): .

Доказательство: Если , то в силу предыдущего пункта система имеет единственное решение, нулевое. ! . Будем считать, что первые строк матрицы линейно независимы. Тогда равносильна системе . Будем предполагать, для определенности , т.е. – свободные неизвестные. Полагаем . Получим решение . Аналогично, полагая получим решение . Очевидно, эти решения линейно независимы и каждое решение есть линейная комбинация этих векторов – база , т.е. .

Суммы и пересечения подпространств.

Лемма 1: Если – подпространства из , то –подпространство.

Доказательство: т.к. , то , т.е. . 1) ; 2) .

Лемма: – подпространство пространства .

Доказательство: Очевидно, . 1) ; 2) Аналогично, .

Теорема (о размерности суммы двух подпространств): ! – подпространства пространства . Тогда

Доказательство: ! и – база . По теореме о дополняемости линейно независимой системы векторов, до базы найдутся такие векторы , что –база . – база . Тогда . Докажем, что – база . Тогда . Пусть . По определению . Поскольку – множество наибольших векторов базы , – линейная комбинация векторов , т.е. – система образующих пространства . Предположим, что – линейно зависима один из векторов есть линейная комбинация предыдущих. Это некоторый вектор (поскольку первые векторов есть база ). Итак, . Отсюда (2) –линейно зависимая система. Это противоречие. Поэтому – система линейно независимая, а значит является базой .

Опр.: ! – некоторое подпространство пространства . Сумма этих подпространств называется прямой, если каждый вектор однозначно записывается в виде .

Замечание: В определении прямой суммы достаточно потребовать однозначность разложения нулевого вектора. Отсюда вытекает однозначность разложения любого вектора.

Теорема 1: Сумма будет прямой .

Доказательство: ! . Предположим, что и . Тогда . Это противоречит определению прямой суммы. . ! . В силу замечания надо доказать . Действительно, или , то . Поэтому .

Теорема 2: Сумма будет прямой .

Доказательство: ! . Покажем, что - линейно независимые. Действительно, ! – линейно независимые векторы . Итак, – линейно независимы база ( ). ! – база .

Теорема (о прямого дополнения): ! –подпространство пространства . Тогда такое подпространство , что ( – прямое дополнение к ).

Доказательство: ! – база . По теореме о дополняемости линейно независимой системы векторов до базы, найдутся такие вектора – база . Если – линейная оболочка векторов , то эти векторы есть база .