Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Кузбасский государственный технический университет имени Т.Ф.Горбачева »

Кафедра математики

Е. В. Прейс Е. А. Волкова А. В. Рябкова

Пределы. Дифференциальное исчисление.

Рекомендовано учебно-методической комиссией

специальности 130400.65 «Горное дело» специализация «Горные машины и оборудование» в качестве электронного издания для самостоятельной работы студентов.

КЕМЕРОВО 2011

Рецензенты:

Волков В.М. - доцент кафедры высшей математики,

Хорешок А.А. - председатель учебно-методической комиссии специальности 130400.65 «Горное дело» специализация «Горные машины и оборудование».

Прейс Елена Валерьевна, Волкова Екатерина Анатольевна,

Рябкова Анна Вячеславовна. Пределы. Дифференциальное исчисление: методические указания для самостоятельной работы по математике [электронный ресурс]: для студентов очной формы обучения специальности 130400.65 «Горное дело» специализация «Горные машины и оборудование» / Е. В. Прейс. Е. А. Волкова. А. В. Рябкова. – электрон. дан. – Кемерово: КузТУ , 2011. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM) ; зв. цв. ; 12 см. – Систем. требования : Pentium IV; ОЗУ 8 Мб ; Windows 95 ; (CD - ROM – дисковод) ; Загл. с экрана.

Методические указания предназначены для организации самостоятельной работы студентов по теме «Пределы. Дифференциальное исчисление » и представляют собой решения типовых заданий с подробными пояснениями, а также сами задания для самостоятельной работы. Цель работы – помочь студентам выработать умения и навыки, необходимые при изучении технических дисциплин и освоении инженерной профессии.

Пределы. Дифференциальное исчисление.

(Типовой расчет №3).

Задание 1. Найти предел: .

Подставим вместо x под знаком предела. Получим неопределенность . Выберем наибольшую степень x в числителе и знаменателе. В примере это . Поделим числитель и знаменатель на и найдем значение предела.

Задание 2,3.Найти пределы. Делим числитель и знаменатель на и находим предел.

3.

( Делим числитель и знаменатель на )

Задание 4,5. Найти пределы.

4.

Подставляем значение x =3 под знак предела. Получаем неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель на множители, найдя корни квадратных выражений. Сократим дробь на , получим

5.

Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на . Получим

Задание 6. Найти предел.

Подставляем x =4 под знак предела, получим

неопределенность . Перенесем иррациональность из числителя в знаменатель. Для этого умножим числитель и знаменатель на . Аналогично, для переноса иррациональности из знаменателя в числитель, умножим на , получим:

Задание 7,8. Вычислить пределы.

7.

Избавимся от неопределенности в основании, поделив числитель и знаменатель на x.

Неопределенность раскрывается с помощью второго замечательного предела: e

Задание 9,10. Найти пределы, используя первый замечательный предел.

Используя эквивалентности: получим

.

10.

Сделаем замену переменной: .

Воспользуемся формулами:

.

Воспользуемся эквивалентностью: . Сократим на t.

Задание 11,12. Исследовать функции на непрерывность.

11. Исследовать функцию на непрерывность в точках

. Для точки х = 2 имеем: Следовательно, в точке функция непрерывна, так как правый и левый пределы равны и равны значению функции в точке.

Для точки значение функции не существует, правый и левый пределы равны соответственно:

.

Следовательно, в точке функция терпит разрыв второго рода.

Задание 12.Исследовать функцию

Функции являются непрерывными для любых х. Следовательно, исходная функция может иметь разрывы в точках , т.е. в точках соприкосновения этих функций. Проверим это.

Правый и левый пределы не равны, следовательно, функция у терпит разрыв первого рода в точке (точка скачка).

Для имеем:

Следовательно, при , функция непрерывна.

Задание 13,14,15.Продифференцировать данные функции.

13.

Воспользуемся правилами дифференцирования и таблицей производных для сложных функций, в частности

Чтобы взять производную функции воспользуемся формулой .

Воспользуемся правилом дифференцирования , и таблицей производных для сложных функций.

Задание 16,17,18,19. Найти производные функций.

16,17. .

Воспользуемся формулами дифференцирования сложных функций.

.

_18,19.

Задание 20.Найти производную функции .

Применим логарифмическое дифференцирование. Для этого прологарифмируем функцию у.

.

Дифференцируем обе части равенства, считая у сложной функцией

Подставим вместо у заданную функцию .

Задание 21. Найти производную функции заданной в параметрическом виде в точке .

Производная функции . Найдем .

Задание 22.Найти производную неявно заданной функции.

Дифференцируем обе части уравнения, считая сложной функцией.

Выразим через x и y. Для этого перенесем слагаемые с в левую часть, все остальные , в правую.

Задание 23.Найти производную III порядка для функции

Найдем первую производную.

Найдем вторую производную. Для этого продифференцируем первую производную еще раз.

Найдем третью производную.

Задание 24. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Найдем производную функции у , которая входит в уравнение.

Подставим полученную производную и функцию у в заданное уравнение.

Задание 25.Найти наименьшее и наибольшее значение функции

на отрезке .

Найдем критические точки для функции у. Найдем производную функции и решим уравнение

Точка . Найдем значения функции в точках .

Наибольшее значение у =5 функция достигает в точке . Наименьшее значение у =0 функция достигает в точке .

Задание 26.Провести исследование функций и построить их графики (функцию а - исследовать с помощью производных).

Функция у существует при . Исследуем функцию на экстремумы. Найдем производную и решим уравнение

Разобьем область определения функции этими точками на

и нтервалы. Определим знак производной и поведение функции в этих интервалах.

у 0

При функция возрастает. При функция убывает. Точка является точкой максимума, так как производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через эту точку, Точка

является точкой минимума, так как производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через эту точку,

Найдем точки перегиба функции у. Найдем , решим уравнение . . .

Разобьем область определения функции точкой на интервалы. Вторая производная сменила знак при переходе через эту точку. Следовательно, это точка перегиба. Функция у является выпуклой для и вогнутой для .

Найдем .

Нанесем все найденные точки и построим график функции.

б) .

Областью определения функции является множество . В точке значение функции не существует.

Найдем точки пересечения функции с осями координат. Нули функции дают точки пересечения с осью ОХ. , если . С осью ОУ функция не пересекается.

Проверим четность , нечетность функции у . .

Условие четности, нечетности не выполняются. Следовательно, функция у общего вида и не является симметричной.

Так как значение функции в точке х=0 не существует, исследуем функцию на разрыв.

Функция имеет в точке х =0 разрыв II и вертикальную асимптоту.