4. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМ.

4.1. Модель и моделирование систвм

Модель - искусственно созданный объект в виде схемы, чертежа, логико-математических знаковых формул, физической конструкции, который будучи аналогичен исследуемому объекту, отображает и воспроизводит в более простом, уменьшенном виде структуру, свой­ства, взаимосвязи и отношения между элементами исследуемого объекта, непосредственное изучение которого связано с какими-либо трудностями, большими затратами средств и энергии или просто недоступно, и тем самым облегчает процесс получения информации об интересующем нас предмете.

Модели являются средством изучения и прогнозирования работы сложных систем, заменяя реальные перевозочные процессы и системы. Ценность моделей заключается в том, что они дают возможность более глубоко при меньшей затрате времени и средств понять неясные характеристики поведения системы. Модель есть такое описание системы, которым можно оперировать с целью измерения одной или нескольких переменных величин, действующих в данной системе.

В отличие от реальной системы модель позволяет наблюдать результаты изменения одного фактора при неизменности всех осталь­ных. Это позволяет более глубоко рассматривать характеристики моделируемой системы, ее чувствительность к различным событиям, позволяет наблюдать влияние гораздо более широкого круга обстоя­тельств, чем это возможно в реальных условиях. На моделях можно производить наблюдения таких переменных, которые не подлежат учету в реальной системе.

Пример. В 1968 г. впервые в нашей стране было официально зарегистрировано научное открытие, полученное в результате проведения моделирования вычислительного эксперимента - эффект Т-слоя Оказалось, что при движении плазмы в магнитном поле в ней могут возникать тонкие, но устойчивые высокотемпературные слои, отличающиеся по своим свойствам от остальной плазмы. Почему этот эффект не был найден ранее? Для его проявления необходимо было создать определенные условия, которые до сих пор не реализовались. По данным вычислительного эксперимента, в нескольких лабораториях страны были „заказаны" и в нужных условиях проведены (лишь через 5 лет) натурные эксперименты. Они дали хорошее согласие с математическим прогнозом.

Моделирование - исследование каких-либо систем на моделях, т.е. на условных образах, схемах или физических конструкциях, аналогичных исследуемому объекту, с применением методов аналогии и теории подобия при проведении и обработке данных экспериментов. Моделирование может быть предметным, физическим, математиче­ским, логическим, знаковым и т.д.

Оценка моделей в экономике проводится по ее возможности предсказывать характеристики поведения системы в некоторый будущий момент времени - устойчивость, колебания, рост, общие взаимосвязи переменных, изменяющихся во времени.

4.2. Классификация моделей.

Согласно классификации модели делятся на физические и абстрак­тные, статические и динамические, линейные и нелинейные, описыва­ющие стационарный и нестационарный процессы (рис. 4.1).

Физические (материальные) модели - это отображение реальности с помощью других реальных объектов или процессов. Это копии, обычно уменьшенные, исследуемых предметов (модель самолета, модель плотины и т.п.). Простейшей формой физической модели является: макет. Абстрактная модель - это модель, отражающая явление в виде символов и отношений между ними, которые призваны заменить в нашем представлении реальную систему. Словесное отоб­ражение или описание есть также модель. Математическая модель является разновидностью абстрактных моделей.

Все модели делятся на статические и динамические. Статические модели описывают взаимосвязи, не меняющиеся во времени. В динамических моделях рассматриваются отношения, подверженные измене­ниям с изменением времени.

Примером статической модели является структура, образуемая разложением выхода объекта по определенной системе линейно-неза­висимых функций входов:

(4.1)

где - заданная система функций входов; - параметры объекта (системы).

Рис. 4.1. Классификация моделей

Примером динамической модели является модель, описываемая линейным дифференциальным уравнением. Например, модель прос­того объекта, как маятник при малых отклонениях, имеет вид:

где у - угол отклонения маятника от вертикали; x(t) - внешняя возмущающая сила.

Динамические модели могут быть разделены на устойчивые и неустойчивые, так же как и физические системы, которые они отра­жают. Устойчивой является такая система, которая, будучи выведена из своего исходного состояния, стремится вернуться к нему. Возмуще­ния в ней со временем затухают и исчезают.

Неустойчивый - стохастический характер структуры системы связан с наличием в ней и в окружающей среде различных неконтро­лируемых, но существенных факторов, которые можно моделировать статистически:

где Е(t) - случайный процесс, моделирующий имеющуюся неопределенность системы и окружающей среды.

Стохастический объект ведет себя неоднозначно в одинаковых ситуациях, что моделируется случайным вектором E(t), статистичес­кие свойства которого должны быть заранее заданы.

В простейшем случае:

Выражение F (x, и) описывает поведение объекта, которое строго зависит от внешних условий, а все отклонения от этого регуляторного поведения образуют „случайную помеху" E(t).

Примером такого стохастического объекта является любой биоло­гический организм, который, как известно, в одинаковых условиях ведет себя по-разному.

Модели могут быть линейными или нелинейными. Под линейными моделями понимается такая модель, реакция которой на сумму двух любых внешних возмущений x₁(t) и x₂ (t) равна сумме реакций на эти возмущения. Линейная статическая структура описывается линейной зависимостью:

Линейные модели дают возможность проще достигнуть конкрет­ного математического решения.

Типичным примером нелинейной статической модели является маятник при больших отклонениях, модель которого имеет вид:

За незначительным исключением математический анализ не дает общих решений для нелинейных систем. Однако методы моделирова­ния, дающие частное решение для каждой отдельной совокупности условий, одинаково применимы для анализа как линейных, так и нелинейных систем.

Модели различаются в зависимости от того, описывают ли они установившееся - стационарное, или изменчивое - нестационарное поведение системы.

Нестационарность системы связана с изменением параметров системы во времени. Характер нестационарности в модели учитыва­ется как

причем C=C₀ +C₁ t , где C₀ , C, C₁ - параметры системы и ее изменения.

Модель с нестационарным режимом является цикличной. Приме­ром такой нестационарности является „старение" автомобилей, т.е. ухудшение технического состояния подвижного состава во времени, что делает объект нестационарным. Другими примерами нестационар­ности могут быть увеличение мощности АТП в течение планируемого периода, строительство нового предприятия и др.

Большинство моделей, которыми описываются транспортные системы - это устойчивые, линейные, с постоянным (стационарным) режимом. Одни - статические, другие - динамические. Для повы­шения реальности получаемых результатов в такие модели необхо­димо включать учет взаимодействия между переменными (технико-эксплуатационными показателями), а также нелинейные функции в виде ограничений потребности в перевозках грузов или пассажиров, производственной мощности, дефицита рабочей силы и др. Повышение эффективности моделирования достигается путем применения дина­мических моделей.