2.3. Оптимизационные модели

Экономико-математические задачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения некоторого критерия или критериев варианта использования имеющихся ресурсов (труда, капитала и пр.), называются оптимизационными.

Оптимизационные задачи (03) решаются с помощью оптимизационных моделей (ОМ) методами математического программирования.

Отличительные признаки оптимизационных моделей:

• наличие одного или нескольких критериев оптималь­ности (критерий оптимальности — это признак, по которому одно (или множество) решений задачи при­нимается наилучшим); наиболее типичными критериями и экономических оптимизационных задачах являются: максимум дохода или прибыли, минимум издержек, минимальное время для выполнения задания и другие;

• система ограничений, формируемая исходя из содержательной постановки задачи и представляющая собой систему уравнений или неравенств.

Структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, области допустимых решений и системы ограничений, определяющих эту область. Целевая функция в самом общем виде, в свою очередь, также состоит из трех элементов:

- управляемых переменных;

- неуправляемых переменных;

- формы функции (вида зависимости между ними).

Область допустимых решений — это область, в пределах которой осуществляется выбор решений.

В экономических задачах она ограничена наличными ресурсами, условиями, которые

записываются в виде системы ограничений, состоящей из уравнений и неравенств.

Если система ограничений несовместима, то область допустимых решений является пустой.

Математически эти задачи относятся к задачам на условный экстремум. Постановка таких задач, представлен­ных в общем виде, выглядит следующим образом: найти условный максимум (или минимум) при условии, что независимые переменные удовлетворяют ограничениям

Функцию G называют функцией, задающей ограничения. Если в задаче на условный экстремум ограничения в виде системы уравнений заменить на ограниче­ния в виде неравенств и добавить требования (ограничения) неотрицательности переменных , полу­чим задачу математического программирования, в которой необходимо:

• найти максимум (или минимум) функции

• при условии, что независимые переменные удовлетво­ряют системам ограничений:

В задаче математического программирования функцию f(х_ь х₂..., х_п) также называют целевой функцией; систему неравенств (g) — специальными ограничениями задачи математического программирования, а неравенства (x) — общими ограничениями задачи линейного программирования.

Целевая функция – функция, для которой находится ее наибольшее (наименьшее) значение.

Система ограничений - система неравенств или уравнений, которым должны удовлетворять переменные целевой функции.

Любое решение системы ограничений называется допустимым решением (или планом) задачи линейного программирования.

Допустимое решение, в котором целевая функция достигает максимального или минимального значения, называется оптимальным решением.

Главная задача математического программирования — это нахождение экстремума функций при ограничениях в форме уравнений и неравенств.

Методы математического программирования подразделяются:

- на линейное программирование;

- нелинейное программирование;

- динамическое программирование;

- целочисленное программирование;

- выпуклое программирование;

- исследование операций;

- геометрическое программирование и др.