ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра «Электромеханические комплексы и системы»

РАСЧЁТ И АНАЛИЗ РАБОТЫ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Выполнил:

студент группы ПТМ-010

Пономарев А. А.

Санкт-Петербург

2012

Вариант 15

Схема электрической цепи:

А I₃ R₃ В

I ₁ I₂ I₄ I₆ I₇

R₁ R₂ R₄ R₆ R₇

Е₁ Е₂ U_AC

U₆₇

R₅

Д I₅ С

Дано: Е₁=200В; Е₂=200В; R₁=3 Ом; R₂=6 Ом;R₃=4 Ом;R₄=20 Ом;R₅=1,33 Ом;R₆=R₇=32 Ом определить напряжение между узлами «А» и «В».

Вычислить:

1. Вычислить все токи и определить их направление. Обозначить направление на схеме.

2. Вычислить напряжение между узлами «А» и «В» схемы.

3. Установить режим работы источника.

4. Вычислить мощности.

5. Проверить баланс мощностей цепи.

6. Вывод.

7. Сводная таблица.

1. Эквивалентное преобразование схемы.

Сопротивления R₆ и R₇ соединены параллельно. Заменим их одним эквивалентным сопротивлением R₆₇. Его величина:

; Ом

Получим схему: А R₃ В

R₁ R₂ R₆₇

R₄

E₁ E₂

R₅

C

Д

Сопротивления R₆₇ и R₃ соединены последовательно, значит их общее эквивалентное сопротивление будет равно их сумме:

R₃₆₇=R₃+R₆₇=4+16=20 Ом

Полученная схема будет иметь вид:

A

R₁ R₂ R₄ R₃₆₇

E₁ E₂

C

Д R₅

Сопротивления R₃₆₇ и R₄ соединены параллельно, значит их общая проводимость будет равна сумме их проводимостей. Из этого условия найдём их эквивалентное сопротивление и обозначим его R_AC (участок цепи между узлами А и С).

Ом

Полученная схема будет иметь вид:

A

R₁ R₂ R_AC

Е₁ Е₂

R₅

Д

Сопротивления R_АС и R₅ соединены последовательно и их эквивалентное сопротивление R_Э равно сумме их сопротивлений:

R_Э=R₅+R_АС=1,33+10=11,33 Ом

Вид преобразованной схемы:

А

R₁ R₁

R_Э

E₁ E₂

Д

2 . Метод уравнений Кирхгоффа.

А

I ₁ I₂ I₅

R₁

I R₂ R_Э

Е₁ Е₂

II

Д

Зададимся направлениями токов и направлениями обхода контуров.

Всего необходимо 3 уравнения по числу неизвестных токов. В схеме 2 узла. По первому закону Кирхгоффа число уравнений на одно меньше чем количество узлов. Рассмотрим узел А:

I₁+I₂-I₅=0

Оставшиеся два уравнения составим по второму закону Кирхгоффа:

Контур I:

E₁=I₁∙R₁+I₅∙R_Э

Контур II:

E₂=I₂∙R₂+I₅∙R_Э

I ₁+I₂-I₅=0 I₁+I₂-I₅=0 I₁+I₂-I₅=0

E ₁=I₁∙R₁+I₅∙R_Э 200=I₁∙3+I₅∙11,33 200=I₁∙3+I₂∙0+I₅∙11,33

E₂=I₂∙R₂+I₅∙R_Э 200=I₂∙6+I₅∙11,33 200= I₁∙0+I₂∙6+ I₅∙11,33

Систему решаем с помощью определителей в программе Excel.

Главная матрица:

Главный определитель: ∆=-119,97

Первая матрица:

Первый определитель: ∆₁=-1200

Вторая матрица:

Второй определитель: ∆₂=-600

Третья матрица:

Третьий определитель: ∆₃=-1800

При решении получаем:

;

;

.

При решении плучаем:

I₁=10A; I₂=5A; I₅=15А.

Проверка по первому закону Кирхгоффа:

10+5-15=0 – выполняется, значит токи найдены верно. Так как значения полученных токов положительны, то выбранные направления обхода контуров верны.

3. Метод узловых потенциалов.

А

I₁ I₂ I₅

R₁ R₂ R_Э

Е₁ Е₂

U_AД

Д

Узел А примем за опорный, т. е. считаем, что потенциал в этом узле равен нулю.

Напряжение между узлом А и любым другим узлом называется узловым напряжением.

Для каждой активной ветви составим уравнения по второму закону Кирхгоффа. При этом узловое напряжение примем равным падению напряжения на участке. Направление обхода примем по часовой стрелке.

E₁=I₁∙R₁+U_АД

E₂=I₂∙R₂+U_АД

U_АД= I₅∙R_Э

Из этих уравнений получаем:

, где - проводимость ветви.

, где - проводимость ветви.

, где - проводимость ветви.

В соответствии с первым законом Кирхгоффа для узла А можно записать:

I₁+I₂-I₅=0 или

+ - =0

Раскроем скобки и преобразуем:

E₁∙g₁-U_АД∙g₁+E₂∙g₂-U_АД∙g₂-U_АД∙g_Э=0

U_АД∙(g₁+g₂+g_Э)=E₁∙g₁+E₂∙g₂

Проводимости:

;

Тогда напряжение между узлами А и Д:

Используя полученные выше выражения для токов, получим:

I₁=(E₁-U_AД)∙g₁=(200-170)0,33 =10A

I₂=(E₂-U_AД)∙g₂=(200-170) 0,167=5A

I₅=U_АД∙g_Э=170∙0,08826=15А

Возвращаемся к исходной схеме.

А

R₁ R₂ R₃₆₇

R₄

E₁ E₂ U_AC

U_АД

R₅

Д С

Межузловое напряжение между узлами А и С:

U_AC=I₅∙R_AC=15∙10=150B

По закону Ома:

U_АВ

A R₃ B

R₁ R₂ R₄ R₆ R₇

Е₁ Е₂ U_AC

U_АД

R₅

Д C

Межузловое напряжение между узлами А и В:

U_AВ=I₃∙R₃=7,5∙4=30B

U_АВ

A R₃ B

R₁ R₂ R₄ R₆ R₇

Е₁ Е₂ U_AC

U_АД U₆₇

R₅

Д C

Межузловое напряжение между узлами В и С:

U₆₇=I₃∙R₆₇=7,5∙16=120B

По закону Ома:

Режим работы источников. Так как направления э. д. с. обоих источников и направления токов, текущих через них совпадают то оба источника работают в режиме генератора.

Определение мощностей развиваемых источниками:

P_U1=E₁∙I₁=200∙10=2000Вт

P_U2=E₂∙I₂=200∙5=1000Вт

Определение мощностей потребляемых:

P₁=I₁²∙R₁=10²∙3=300Вт

P₂=I₂²∙R₂=5²∙6=150Вт

P₃=I₃²∙R₃=7,5²∙4=225Вт

P₄=I₄²∙R₄=7,5²∙20=1125Вт

P₅=I₅²∙R₅=15²∙1,33=299,25Вт

P₆=Р₇=I₆²∙R₆=3,75²∙32=450Вт

Баланс мощностей:

P_U1+P_U2=P₁+P₂+P₃+P₄+P₅+P₆+P₇

В правой части стоит арифметическая сумма мощностей потребляемых источниками, а в левой части стоит алгебраическая сумма мощностей выделяемых источниками. Если в результате расчётов получится что ток в какой либо активной ветви и Э. Д. С. По направлению не совпадают, то в этой ветви содержится не источник, а потребитель электрической энергии, например заряжающийся аккумулятор, и в левой части эту мощность надо брать со знаком “-“.

2000+1000=300+150+225+1125+299,25+450+450

3000=2999,25

Баланс мощностей сходится.