Лекция 2

3. Оценить точность приближения

4. Оценить погрешность в определении параметров

Требования к эксперименту:

Для проведения статистической обработки эксперимента, к последнему предъявляются определенные требования:

1. Эксперимент должен включать опыты на воспроизводимость для определения дисперсии воспроизводимости. Без определения дисперсии воспроизводимости, строго говоря, нельзя принять никаких решений, входящих в комплекс статистической обработки, в частности нельзя проверить адекватность модели.

2. Выходные величины ( ) должны быть нормально распределенными случайными величинами. Экспериментатор практически не имеет возможности проверить это требование, но обычно считается, что оно соблюдается.

3. Ошибка в задании входных факторов ( ) должна быть пренебрежимо малой по сравнению с ошибкой измерения выходных величин ( ). Это требование обычно в эксперименте соблюдается.

Статистические характеристики модели и эксперимента.

Обычная последовательность реализации метода регрессионного анализа состоит в следующем:

1. Установление наличия зависимости между входами и выходами.

2. Выбор класса функций, которые могли бы описать связь между входами и выходами, если установлено, что она существует (например, полином (2.6)).

3. Выбор конкретной функции для обработки. Последовательность выбора: от простого в сторону усложнения. Пункт 1 фактически означает выбор простейшей зависимости . Если зависимость может быть линейной, то для одного фактора, - для двух и т.д., т.е. задается число факторов и, следовательно, число коэффициентов полинома.

4. Анализ числа степеней свободы. Первоначальное число степеней свободы модели определяется как разность между числом опытов и числом коэффициентов модели: f = n - m .Чем больше опытов, тем больше информации о модели, эта информация используется для того, чтобы определить ее коэффициенты. Отсюда ясно, что максимальное число коэффициентов модели, которое можно определить на основе проведенного эксперимента, равно числу опытов. Но в этом случае не остается степеней свободы для нахождения статистических характеристик, с помощью которых можно оценить адекватность модели и оригинала. Чем больше остается степеней свободы после расчета коэффициентов, тем более достоверными можно считать результаты статистической обработки. Каждой статистической оценке эксперимента соответствует определенное текущее число степеней свободы.

5. Проверка адекватности. Если модель неадекватна эксперименту, надо возвратиться к пункту 3 , усложнить модель, проанализировать степени свободы, и снова проанализировать адекватность. Если теперь модель адекватна эксперименту, можно двигаться дальше.

6. Оценка значимости коэффициентов. Значимые коэффициенты остаются в модели, незначимые можно удалить, изменив тем самым модель. В случае удаления незначимых коэффициентов, снова проводится проверка адекватности. Если все коэффициенты значимы, оценивается погрешность в определении коэффициентов.

Адекватность модели эксперименту.

При оценке адекватности сравнивается величина, характеризующая качество эксперимента (дисперсия воспроизводимости), с величиной, характеризующей качество описания данного эксперимента рассматриваемой моделью (остаточная дисперсия или дисперсия неадекватности). Для сравнения используется критерий Фишера или .

Расчет дисперсии воспроизводимости

Для расчета дисперсии воспроизводимости необходимо провести каждый опыт несколько раз, например, раз. В общем случае число повторов в каждом опыте может быть различным, но чтобы не усложнять изложение, примем одинаковое число повторений в каждом опыте. Тогда таблица эксперимента будет выглядеть следующим образом:

№опыта	X0	X1	...	Xm	y				Y средн.
1	X01	X11	...	Xm1	y11	y12	...	y1l	y1
2	X02	X12	...	Xm2	y21	y22	...	y2l	y2
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
n	X0n	X1n	...	Xmn	yn1	yn2	...	ynl	yn

Сначала рассчитывается среднее значение выходной величины в каждых l повторенных опытах (потратили одну степень свободы):

(2.12)

Далее считается дисперсия воспроизводимости для каждого опыта. Это можно сделать на основе отклонений значений выхода в каждом опыте от среднего значения в этом опыте:

, (2.13)

где - число степеней свободы, с учетом того, что одна степень свободы потрачена на вычисление среднего значения.

Далее определяется среднее значение дисперсии воспроизводимости по всем опытам:

(2.14)

Этой дисперсии соответствует число степеней свободы - общее число опытов в эксперименте за вычетом тех, что потрачены на вычисление средних значений.

Если же воспроизводимость анализировалась не для всех опытов, ничего не остается делать, как принять характеристику, полученную для нескольких опытов (хотя бы и для одного), в качестве характеристики всего эксперимента.

Расчет остаточной дисперсии

Далее определяется остаточная дисперсия на основе отклонений всех экспериментальных значений выхода от расчетных значений:

,

где - сумма квадратов отклонений экспериментальных и расчетных значений, - число степеней свободы, соответствующее этой дисперсии (общее число опытов за вычетом числа коэффициентов модели).

Или, через средние значения y:

Расчет дисперсии неадекватности

Имея в виду, что остаточная сумма квадратов отклонений складывается из суммы квадратов отклонений неадекватности и суммы квадратов отклонений воспроизводимости:

можно выделить сумму квадратов неадекватности:

Для определения дисперсии неадекватности рассчитывается число степеней свободы неадекватности по формуле:

Окончательно:

Проведя соответствующие подстановки, получим

(2.15)

Критерий Фишера

.Сопоставление дисперсий неадекватности и дисперсии воспроизводимости проводится по критерию Фишера:

(2.16)

или для расчета через остаточную дисперсию

для расчета через среднее

Полученное расчетом значение сравнивается с табличным, определенным для соответствующих степеней свободы. Если F < Fтабл - уравнение адекватно.

Анализ коэффициентов полинома

Следующей задачей статистической обработки является оценка точности определения коэффициентов и анализ значимости коэффициентов.

Дисперсию коэффициентов можно определить по уравнению

, (2.17)

где - диагональные элементы ковариационной матрицы (см. уравнение 2.11).

Среднеквадратичная ошибка определения коэффициента .

Оценка значимости коэффициентов Стьюдента

, (2.19)

Если , то коэффициент незначим. Значение находят по таблице в соответствии с выбранным уровнем значимости (обычно 0,05) и числом степеней свободы для средней дисперсии воспроизводимости (nl-n).

Доверительный интервал

Снова о планировании кинетического эксперимента: спланировать эксперимент так, чтобы ошибка в определении коэффициентов модели была как можно меньше.

Реальность

1. Не важен вид кинетической модели, важно, чтобы модель хорошо описывала эксперимент – классическая обработка через полином.

2. Важен вид кинетической модели:

При выборе наилучшей модели проводится выбор между конкретными моделями.

2.1 Кинетическая модель приводится к линейному виду. Используется классическая обработка через полином. Полученные коэффициенты пересчитываются в параметры модели. Оценки точности коэффициентов модели можно попробовать преобразовать в оценки точности параметров.

2.2 Кинетическая модель не приводится к линейному виду. Прямой поиск. Оценка точности – через вычислительный эксперимент.

Критерий Фишера F для уровня значимости 0,05.

Таблица 2.8

f1 f 2	1	2	3	4	5	6	12	24
1	164,4	199,5	215,7	224,6	230,2	234,0	244,9	249,0	254,3
2	18,5	19,2	19,3	19,3	19,3	19,3	19,4	19,5	19,5
3	10,1	9,6	9,3	9,1	9,0	8,9	8,7	8,6	8,5
4	7,7	6,9	6,6	6,4	6,3	6,2	5,9	5,8	5,6
5	6,6	5,8	5,4	5,2	5,1	5,0	4,7	4,5	4,4
6	6,0	5,1	4,8	4,5	4,4	4,3	4,0	3,8	3,7
7	5,6	4,7	4,4	4,1	4,0	3,9	3,6	3,4	3,2
8	5,3	4,5	4,1	3,8	3,7	3,6	3,3	3,1	2,9
9	5,1	4,3	3,9	3,6	3,5	3,4	3,1	2,9	2,7
10	5,0	4,1	3,7	3,5	3,3	3,2	2,9	2,7	2,5

Критерий Стьюдента t для уровня значимости 0,05.

Таблица 2.9

f	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
t	12,71	4,30	3,18	2,78	2,57	2,45	2,37	2,31	2,26	2,23