Приложение 2 Определение скорости пули при помощи баллистического маятника

Первая модель

При попадании пули в мишень с пластилином, баллистический маятник выходит из положения равновесия и совершает колебания вокруг своей оси. При этом считается, что скорость пули в момент соударения перпендикулярна оси и плечу маятника. Если это условие не соблюдается, то кроме вращательных будет также и возбуждаться и колебательные степени свободы маятника, т.е. ось маятника начнет совершать колебания.

Так как скорость пули перпендикулярна плоскости мишени, то момент импульса пули равен:

где l – расстояние от оси вращения маятника до точки удара пули, m масса пули, V скорость пули.

Момент импульса системы после соударения определяется выражением: L=I , где I – момент инерции системы после удара пули, равный , моменту инерции маятника с пулей, угловая скорость системы.

Удар можно считать абсолютно упругим, так кА при соударении с мишенью пуля застревает в пластилине, т.е. скорость мишени и пули после соударения одинаковы. В этом случае закон сохранения момента импульса примет вид:

(П.3.1)

Таким образом, после соударения баллистический маятник будет вращаться с угловой скоростью . При движении маятника на него не будет действовать момент сил, вызванный деформацией кручения стальной проволоки подвеса маятника, который равен , где С постоянная упругих сил кручения, угол отклонения маятника от положения равновесия. Поэтому в момент соударения угловая скорость будет максимальной.

Работа сил упругости при отклонении маятника от положения равновесия на угол будет равна:

Так как работа отрицательна, то потенциальная энергия маятника возросла на величину, равную работе, но по противоположную по знаку, т.е.:

При отклонении маятника на максимальный угол вся энергия вращательного движения, которая равна , переходит в потенциальную, а изменение потенциальной энергии, как мы уже знаем, равно . Таким образом, закон сохранения энергии мы можем записать в виде:

(П.3.2)

где - максимальный угол поворота маятника

использую законы сохранения момента импульса (П.3.1) и энергии (П.3.2), получаем:

отсюда:

Т.е., скорость пули до столкновения с баллистическим маятником будет определятся выражением:

(П.3.3)

Вторая модель

Во второй модели учтем силы вязкого трения, действующие на баллистический маятник, момент которых равен:

М_{с орг}=-К

В этом случае уравнение колебаний баллистического маятника (приложение 1, модель 2) при условии может быть представлено в виде (П.2.4)

(П.4.1)

угловая скорость маятника равна производной от угла по времени:

(П.4.2)

Рассмотрим начальные условия. Сразу после удара пули (t=0) угол отклонения баллистического маятника и угловая скорость соответственно равны:

(П.4.3)

Решая систему уравнений (4.3) получим, что в момент соударения угловая скорость равна:

.

Отсюда (П.4.4)

Максимальное ускорение от положения равновесия баллистический маятник достигает в момент времени t=T/4. оно равно (из (П.4.1)):

(П.4.5)

отсюда угловая скорость баллистического маятника в момент времени непосредственно после соударения будет равна:

(П.4.6)

Зная угловую скорость баллистического маятника после соударения можно определить скорость пули. Так как удар пули о мишень абсолютно неупругий (пуля застревает в мишени), то выполняется закон сохранения момента импульса:

где - момент инерции системы после удара пули.

Отсюда скорость пули после соударения равна:

(П.4.7)