Задачи для самостоятельной работы
52.
Составить простейшее уравнение эллипса,
зная, что большая полуось равна 10 и
эксцентриситет
.
53. Расстояния от одного из фокусов эллипса до концов его большой оси соответственно равны 7 и 1. Составить уравнение этого эллипса.
54. Составить уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями координат, зная, что действительная полуось равна 5 и вершины делят расстояние между центром и фокусами пополам.
55.
Составить уравнение гиперболы, оси
которой совпадают с осями координат,
зная, что расстояние между фокусами
равно 10, а эксцентриситет
.
56.
Составить уравнение параболы, зная, что
она симметрична относительно оси
,
фокус находится в точке
и вершина совпадает с началом координат.
57.*
В эллипс
вписан прямоугольник, две противоположные
стороны которого проходят через фокусы.
Вычислить площадь этого прямоугольника.
58.*
Написать уравнение гиперболы, проходящей
через фокусы эллипса
и имеющей фокусы в вершинах эллипса.
59.*
Зная уравнение асимптот гиперболы
и одну из точек
,
составить уравнение гиперболы.
60.*
На параболе
взята точка
,
находящаяся от директрисы на расстоянии
.
Вычислить расстояние этой точки от
вершины параболы.
61.*
Найти уравнение окружности, проходящей
через точки пересечения параболы
с осями координат.
2.4. Взаимное расположение кривых и прямых на плоскости Задачи для самостоятельной работы
62.
Найти точки пересечения эллипса
с прямой
.
63.
Известно, что прямая
касается эллипса
.
Найти точку их касания.
64.
Через точку
провести прямые, параллельные асимптотам
гиперболы
.
65.
Известно, что прямая
касается гиперболы
.
Найти точку их касания.
66.
Найти точки пересечения параболы
с прямой
.
67.*
Задан эллипс
.
Найти длину его диаметра, направленного
по биссектрисе координатного угла.
68.*
Составить уравнение диаметра окружности
,
перпендикулярно к прямой
.
69.*
Составить уравнение прямой, проходящей
через правый фокус кривой
,
параллельно прямой
.
70.*
Вычислить площадь треугольника,
образованного асимптотами гиперболы
и прямой
.
71.*
Пусть
–
вершина параболы
,
–
точка пересечения параболы с осью
.
Найти уравнение перпендикуляра,
восстановленного из середины отрезка
.
2.5. Поверхности второго порядка
Определение 2.5.1.
Уравнением данной поверхности (в выбранной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными F(x,y,z)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат.
Определение 2.5.2.
Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением
,
г
де
-
вещественные числа, причем хотя бы одно
из чисел
отлично
от нуля.
В декартовых прямоугольных координатах сфера, имеющая центр O(a,b,c) и радиус R, определяется уравнением
.
Сфера, имеющая центр O(0,0,0) и радиус R, определяется уравнением
.
Э
ллипсоидом
называется поверхность, каноническое
уравнение которой имеет вид
где a, b, c - положительные числа.
Эллипсоид
обладает тремя плоскостями симметрии,
тремя осями симметрии и центром симметрии.
Ими служат соответственно координатные
плоскости, координатные оси и начало
координат. Так же, как для эллипса, точки
пересечения эллипсоида с координатными
осями называются вершинами эллипсоида,
центр симметрии - центром эллипсоида.
Числа
,
,
называются
полуосями. Если полуоси попарно различны,
то эллипсоид называется трехосным.
Если две полуоси равны друг другу, то
эллипсоид называется эллипсоидом
вращения.
Эллипсоид вращения может быть получен
вращением эллипса вокруг одной из осей.
Например, если
,
то все сечения эллипсоида плоскостями
z=h,
h<c,
будут окружностями.
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид
где a, b, c - положительные числа.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение
которой имеет вид
где a, b, c - положительные числа.
К
онусом
второго порядка
называется поверхность, уравнение
которой в некоторой декартовой системе
координат имеет вид
где a, b, c - положительные числа.
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид
где a, b – положительные числа.
Г
иперболическим
параболоидом
называется поверхность, уравнение
которой в некоторой декартовой системе
координат имеет вид
где a, b - положительные числа.
Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые - образующими.
Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением
называется эллиптическим цилиндром.
П
оверхность,
которая задается уравнением
называется
гиперболическим цилиндром.
Поверхность, которая задается уравнением
называется параболическим цилиндром.