П еремещения при плоском изгибе
При
изгибе есть 2 типа перемещений: линейные
(прогиб)
и угловые
.
Прогибом балки δ называется величина, на которую перемещается центр тяжести поперечного сечения в направлении, перпендикулярном первоначальной оси балки. Углом поворота поперечного сечения q называется угол, на который поворачивается поперечное сечение при деформации балки (рис.4.44).
В
дальнейшем будем считать, что прогибы
и углы поворота балки малы и
,
,
а
.
Приближенное
дифференциальное уравнение изогнутой
оси балки имеет вид:
.
Если балка имеет один участок, то это уравнение можно непосредственно проинтегрировать:
где
– жесткость при изгибе, С
и D
– постоянные интегрирования, которые
представляют собой прогиб
и угол поворота
в начале координат и определяются из
граничных условий задачи.
Решение получается громоздким. Более простым является способ решения с помощью интеграла Мора.
Интеграл Мора
Перемещение упругих систем можно вычислить с помощью интеграла Мора
г
де
–
перемещение при изгибе (прогиб или угол
поворота сечения);
– статическое выражение изгибающего
момента от внешних сил;
– уравнение изгибающего момента от
единичной нагрузки, соответствующей
единичной силе при вычислении прогиба
и единичному моменту при вычислении
угла поворота.
В общем случае перемещение вычисляется как сумма перемещений по участкам нагружения. Единичная нагрузка направлена в направлении определения перемещения и приложена в точке определения перемещения.
Пример.
Определить прогиб yК консоли (рис. 4.45,а) и угол поворота сечения в точке К.
Решение. Уравнение изгибающего момента от силы F по всей длине консоли имеет вид
MxF = - F·z.
Сняв нагрузку F, приложим в т. К единичную силу 1 (рис. 4.45,б). Уравнение изгибающего момента от единичной силы
Mx1 = - 1·z.
Подставив эти выражения в интеграл Мора, определим величину прогиба
.
Сняв нагрузку F, приложим в т. К единичный момент 1 (рис. 4.45,в). Значение изгибающего момента по всей длине балки Mx1 = - 1 = const.
Подставив эти выражения в интеграл Мора, определим величину угла поворота сечения
.
4.18.Устойчивость сжатых стержней
4.18.1. Понятие об устойчивости
П
од
устойчивостью понимается свойство
системы сохранять свое состояние при
внешних воздействиях (сжатии, кручении,
внутреннем давлении). Если система таким
свойством не обладает, она называется
неустойчивой.
Явление потери устойчивости рассмотрим на примере сжатого стержня (рис. 4.46). При приложении к стержню достаточно большой силы F он изогнется, т.е. первоначальная прямолинейная форма его изменится. Произойдет потеря устойчивости.
Максимальная сжимающая нагрузка, при которой прямолинейная форма стержня устойчива, называется критической силой. Устойчивость стержня оценивается по коэффициенту запаса устойчивости
,
где
–
критическая сила;
–
допускаемый коэффициент запаса
устойчивости, зависящий от материала
стержня. Для стальных стоек
.
Для расчета нужно уметь определять критическую силу .
4.18.2. Определение критической силы
Эту задачу решил Л. Эйлер в 1744 г. Для шарнирно закрепленного с обоих концов стержня длиной l (рис. 4.47,а)
,где
– минимальный момент инерции сечения
стержня.
Значение зависит от способа закрепления концов стержня. В общем случае
,
где μ – коэффициент приведения длины; показывающий, во сколько раз следует изменить длину шарнирно закрепленного с обоих концов стержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержня в данных условиях закрепления.
На рис.4.47 приведены несколько случаев закрепления стержня и соответствующие значения коэффициента приведения.