- •Короткі теоретичні відомості.
- •1. Визначники. Обчислення визначників.
- •Визначник n-го порядку це число, яке дорівнює сумі попарних добутків елементів довільного рядка (або стовпця) на їх відповідні алгебраїчні доповнення.
- •2. Матриці та дії над ними.
- •3) Знайти алгебраїчні доповнення кожного елемента транспонованої матриці і записати їх у матрицю (приєднану):
- •3. Розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •6. Площина і пряма в просторі.
- •7. Канонічні рівняння ліній другого порядку.
- •8. Вступ в математичний аналіз
- •9. Диференціальне числення функцій однієї змінної
- •10. Застосування похідної.
- •11. Повне дослідження функції
- •12. Функції багатьох змінних
- •13. Невизначений інтеграл.
- •14. Методи обчислення невизначених інтегралів
- •14. Визначений інтеграл.
- •15. Невласні інтеграли.
- •16. Диференціальні рівняння першого порядку.
- •17. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.
- •18. Числові ряди
- •19. Степеневі ряди.
- •Деякі економічні задачі і їх розв’язування.
- •Вказівки та зразки розв’язування задач.
Короткі теоретичні відомості.
1. Визначники. Обчислення визначників.
Визначником 2-го порядку називається число, яке знаходиться за формулою:
В
a11
a22
a33
+ a12 a23
a31
+ a21
a32
a13- -a13
a22
a31
– a12 a21
a33
– a11
a23
a32.
Визначник n-го порядку має вигляд:
де аij – елемент визначника, i – вказує стрічку розміщення, j – стовпець.
Мінором Мij елемента аij визначника n-го порядку називається визначник (n-1)-го порядку, одержаний з попереднього викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця.
Алгебраїчним доповненням Аij елемента аij визначника n-го порядку називається мінор цього елемента, взятий із знаком “+”, якщо число (i+j) – парне і зі знаком “- ”, якщо воно непарне. Aij = (-1)i+jMij.
Визначник n-го порядку це число, яке дорівнює сумі попарних добутків елементів довільного рядка (або стовпця) на їх відповідні алгебраїчні доповнення.
2. Матриці та дії над ними.
Прямокутна таблиця чисел, що містить стрічок і стовпців, взята в круглі або в квадратні дужки називається матрицею розмірності
Якщо , то матриця називається квадратною порядку.
Сумою (різницею) матриць А і В однакової розмірності називається
матриця С, для якої кожний елемент дорівнює сумі (різниці) відпо-
відних елементів даних матриць:
Добутком матриці A на число k називається матриця kA, всі елементи якої дорівнюють добуткам відповідних елементів матриці A на це число. Матричне множення AB можливе, якщо число стовпців матриці A співпадає з числом рядків матриці B.
Добутком матриці A розмірності на матрицю В розмірності , називається матриця , розмірності , для якої кожний елемент знаходиться за формулою:
Для квадратної матриці існує обернена матриця відносно множення.
Схема знаходження оберненої матриці:
1 ) Обчислити визначник матриці А.
2) Транспонувати матрицю А. .
3) Знайти алгебраїчні доповнення кожного елемента транспонованої матриці і записати їх у матрицю (приєднану):
4) Поділити кожен елемент матриці
на визначник матриці |А|.
Рангом матриці А називається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів. Його позначають буквою r (r (A)).
3. Розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Система лінійних алгебраїчних рівнянь має вигляд:
(1)
Числа - коефіцієнти біля невідо-
мих , а - вільні члени.
Розв’язком системи (1) називається сукупність чисел яка при підстановці її в систему перетворює всі рівняння в правильні рівності (тотожності).
Якщо число рівнянь дорівнює числу невідомих то для розв’язування системи рівнянь можна використати:
а) правило Крамера. Якщо основний визначник системи лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими ( визначник складений із коефіцієнтів, що стоять біля невідомих) не дорівнює нулю, то ця система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами:
де -допоміжний визначник, який одержується з основного визначника шляхом заміни його стовпчика стовпчиком вільних членів системи.
б) матричний метод. У матричній формі систему лінійних рівнянь запишемо так . Звідси розв’язок: .
Для довільних систем, лінійних алгебраїчних рівнянь використовують методи Гаусса, Жордана –Гаусса.
в) метод Гаусса полягає в послідовному виключенні невідомих з рівнянь системи і зведенні її до трикутного чи трапецевидного вигляду.
г) метод Жордана - Гаусса полягає в повному послідовному виключенні невідомих. При цьому коефіцієнти утворять при основних (базисних) невідомих одиничну матрицю.
4. Елементи аналітичної геометрії і векторної алгебри.
Дві взаємно перпендикулярні осі Ох і Оу з спільною точкою початку відліку О і однаковою масштабною одиницею утворюють декартову систему координат на площині.
Точка на площині задається впорядкованою парою чисел (х,у), які називають координатами.
Віддаль d між точками А( x1, y1) і B( x2, y2) обчислюється за формулою: d = .
Координати точки С (x, y), яка ділить відрізок АВ у відношенні АССВ=, знаходяться за формулами: .
В просторі три взаємно перпендикулярні осі Ох,Оу,Оz з спільною точкою відліку О і однаковою масштабною одиницею утворюють декартову систему координат.Точка в просторі задається впорядкованою трійкою чисел – координатами (х,у,z).
Направлений відрізок , де точка А точка початку,а В точка кінця називається вектором.
Вектор позначається або двома великими буквами з стрілкою над ними ,або одною малою буквою . Довжину вектора називають модулем і позначають або .
Вектор на площині задають двома числами його координатами: ,де , , які є проекціями вектора відповідно на осі Ох та Оу.Вектор в просторі задають трьома координатами: .
Сумою(різницею) двох векторів і називають вектор .
Скалярним добутком векторів і називають вектор , де - кут між векторами.
Якщо вектори задані своїми координатами, то
Кут між векторами обчислюється за формулою:
cos =
Умова паралельності векторів: .
Умова перпендикулярності векторів:
5. Пряма на площині
1. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом: y = kx + b, де ( - кут нахилу прямої до додатнього напряму осі , b - довжина відрізка, який пряма відтинає на осі Oy.
2. Рівняння в’язки прямих, що проходять через точку
3. Рівняння прямої, що проходить через дві точки
4. Рівняння прямої у відрізках на осях: де - відрізки, які пряма відсікає на осях координат.
5.Загальне рівняння прямої: Ax + By + C = 0.
Кут , відрахований проти годинникової стрілки від прямої
до прямої знаходиться за формулою:
.
Умова паралельності цих прямих :
Умова перпендикулярності:
Віддаль точки від прямої обчислюємо за формулою: