- •Сучасна теорія управління методичні вказівки
- •Використання теорії масового обслуговування у керуванні виробництвом
- •2.1. Системи масового обслуговування з відмовами
- •2.1.1. Одноканальна смо
- •З цього виразу визначаємо
- •Враховуючи, що сума ймовірностей завжди дорівнює 1, отримуємо
- •2.1.2. Багатоканальні смо
- •2.2. Системи масового обслуговування з очікуванням
- •Тому середня довжина черги:
- •3. Практичне застосування тмо
- •4. Завдання до лабораторних робіт Лабораторна робота № 1
- •Варіанти завдань
- •Варіанти завдань
- •Лабораторна робота № 2
- •Варіанти завдань
- •Варіанти завдань
- •Завдання 2
- •Розв’язання
- •6. Приклад виконання лабораторної роботи № 2 Завдання 1
- •Розв’язання
- •Завдання 2
- •Розв’язання
- •Завдання 3
- •Розв’язання
- •7. Література
Варіанти завдань
№ варіанта |
m |
|
|
23 |
7 |
0,5 |
2,0 |
Завдання 3. Ремонтна бригада обслуговує кілька цехів заводу. Аналітично відомі інтенсивність потоку відмов устаткування і інтенсивність потоку обслугування . Відомі також втрати за одиницю часу: від простою устаткування – n умовних одиниць, на утримання ремонтної бригади m умовних одиниць.
Менеджерів, які органзіують виробничий процес, цікавить середній час очікування обслугування і середній час обслугування за рзіної кількості бригад s. Також важливо знайти оптимальну кількість бригад з урахуванням витрат за одиницю часу на простої устаткування і на утримання бригад.
1. Розрахувати показники роботи СМО для однієї бригади для показників, наведених нижче.
Варіанти завдань
№ варіанта |
|
|
23 |
1,74 |
2,16 |
Розрахувати показники СМО для 2,3,...,5 бригад, прийняти рішення про їх оптимальну кількість з урахуванням витрат на простої – n грн за одиницю часу і на утримання однієї бригади – m грн за одиницю часу.
Варіанти завдань
№ варіанта |
|
|
n |
m |
23 |
1,74 |
0,96 |
6 |
4 |
5. ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ
ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ №1
Завдання 1
Завдання 1 виконується за прикладом 1. Під час виконання цього завдання пропонується використовувати програму MathCad.
Розв’язання
У програмі функція Prybutok(p1,p2,p3,p4) визначає прибуток від роботи системи.
У блоці Given … Find записана система рівнянь Колмогорова, розв’язання якої містить вектор R.
Вхідні дані та розв’язання для немодифікованої системи масового обслуговування наведені у програмі під заголовком SOLVE 1.
Після модернзіації першої лінії змінюються вхідні дані й за допомою програми під заголовком SOLVE 2 отримуємо результати.
Аналзі результатів. Аналзіуючи значення функції прибутку після модифікації, можна запропонувати до модернзіації першу лінію, оскільки в цьому разі буде отримане найбільше значення прибуткової функції.
Завдання 2
Фірма органзіує телефонний зв’язок. Аналітично відомі інтенсивність потоку замовлень й інтенсивність потоку обслугування . Слід обгрунтувати оптимальну кількість каналів обслугування.
Відомо, що на телефонну станцію надходить в середньому 1,7 замовлень за 1 хв. А потік обслугування має інтенсивність 0,5 замовлення за 1 хв.
Розв’язання
Дану задачу можна описати n-канальною системою з відмовами. Граф станів такої системи наведений на рис.6.
Стани системи:
S0 – усі канали вільні;
S1 – зайнятий один канал, інші вільні;
S2 – зайняті два канали, інші вільні;
…
Sn – Зайняті усі n каналів.
Рівняння Колмогорова для такої системи:
p0 = p1 ;
p1(+) = p0 + 2p2 ;
p2(+2) = p1 + 3 p3 ;
…
pk(+k) = p k-1 + (k+1) pk+1 ;
…
pn-1(+(n-1) ) = pn-2 + n pn ;
р0 + р1 + р2 +…+ рn = 1.
Розв’язавши цю систему рівнянь, отримуємо р0 , р1 , р2 ,…, рn.
За умовами задачі = 1,7, =0,5. Отже, / = 3,4.
Ймовірність обслуговування замовлення, що надходить, для n каналів визначається за формулою:
Q = 1 – pn = 1 – p0 ( / )n/n!, де
p0 = (1+ / +( / )2 / 2! + ( / )3 / 3! + … + ( / )n / n! )1,
pk = p0 ( / )k / k!, (k = 1,2,3,…,n).
Середня кількість зайнятих каналів
Kсер = p0 ( / )(1 – ( / )n / n!).
Розрахунки у програмі Mathcad дають змогу побачити, що для двох каналів ( n = 2) отримуємо:
ймовірність обслуговування замовлення Q = 0,43, що становить 43 %;
при цьму середня кількість зайнятих каналів Kсер=1.47, що становить 73,5 % від всіх трьох каналів;
відповідно 26,5 % замовлень, що надходять у систему, отримують відмову.
Збільшимо кількість каналів обслугування до трьох. Отримуємо:
ймовірність обслугування замовлення Q = 0,61, що становить 61 %;
при цьому середня кількість зайнятих каналів Kсер=2,07, що складає 69 % від всіх трьох каналів;
відповідно 31 % замовлень, що надходять у систему, отримують відмову.
У випадку з чотирма каналами Q = 75 %, відсоток зайнятих каналів – 63,8 %,
у випадку з п’ятьма каналами Q = 85,5 %, відсоток зайнятих каналів – 58,1 %,
у випадку з шістьма каналами Q = 92,4 %, відсоток зайнятих каналів – 52,4 %.
Підведемо підсумки.
У разі збільшення каналів з двох до трьох:
кількість зайнятих каналів знижується на 4,5 %;
ймовірність обслугування зростає на 17,6 %.
При збільшенні каналів з трьох до чотирьох:
кількість зайнятих каналів знижується на 5,2 %;
ймовірність обслугування зростає на 14,2 %.
При збільшенні каналів з чотирьох до п’яти:
кількість зайнятих каналів знижується на 5,7 %;
ймовірність обслугування зростає на 10?5 %.
При збільшенні каналів з п’яти до шести:
кількість зайнятих каналів знижується на 5,7 %;
ймовірність обслугування зростає на 6,9 %.
Аналзі результатів. За результатами розрахунків, у динаміці бачимо, що збільшення каналів з двох до трьох є оптимальним, оскільки за мінімального зменшення кількості зайнятих каналів спостерігається максимальний приріст ймовірності обслугування. Подальше збільшення каналів невигідне через простої.