1) Находим определитель матрицы.
Здесь
определитель раскрыт по
первой строке.
Проверка. 
,
а значит, обратная
матрица существует.
2) Находим матрицу миноров
Матрица
миноров имеет размерность «три на
три» 
.
Здесь подробно рассмотрено нахождение одного минора:
Рассмотрим
следующий элемент матрицы:
МЫСЛЕННО
вычеркиваем строку и столбец, в котором
находится данный элемент:
Оставшиеся
четыре числа записываем в определитель
«два на два»
Этот
определитель «два на два» и является
минором данного элемента.
Его нужно вычислить:
Записываем
полученное значение в матрицу
миноров:
Остальные
миноры вычислить самостоятельно.
Окончательный
результат:
–
матрица миноров соответствующих
элементов матрицы 
.
То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.
3) Находим матрицу алгебраических дополнений
В
матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ
ЗНАКИ строго
у следующих элементов:
В
данном случае:
–
матрица алгебраических дополнений
соответствующих элементов матрицы
.
4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .
–
транспонированная
матрица алгебраических дополнений
соответствующих элементов матрицы
.
5) Ответ:
Проверка:
Также существует несколько другой подход к нахождению обратной матрицы. Справа к матрице приписывается единичная матрица и выполняются преобразования по методу Гаусса. В итоге слева будет получена единичная матрица, а справа как раз необходимая нам обратная.
Рекомендуется вычислять обратную матрицу с помощью первого способа, так как гораздо меньше вероятность запутаться в вычислениях и знаках.
Метод обратной матрицы
Пример.
Решить систему матричным методом
Решение:
Запишем систему в матричной форме:
,
где 
Комментарий. Если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.
Решение системы найдем по формуле
.
Согласно
формуле нам нужно найти обратную
матрицу 
и
выполнить матричное умножение 
.
Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
Сначала разбираемся с определителем:
Здесь определитель раскрыт по первой строке.
Внимание!
Если 
,
то обратной матрицы не существует, и
решить систему матричным методом
невозможно. В этом случае система
решается методом
исключения неизвестных (методом Гаусса).
Теперь
нужно вычислить 9 миноров и записать их
в матрицу миноров 
В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно:.
Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь они вычислены слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам.
Таким образом:
–
матрица
миноров соответствующих элементов
матрицы
.
–
матрица
алгебраических дополнений.
–
транспонированная
матрица алгебраических дополнений.
Теперь
записываем обратную матрицу:
Ни
в коем случае не вносим 
в
матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие
вычисления. Деление
нужно было бы выполнить, если бы все
числа матрицы делились на 60 без остатка.
А вот внести минус в матрицу в данном
случае очень даже нужно, это, наоборот
– упростит дальнейшие вычисления.
Осталось провести матричное умножение.
Обратите
внимание, что деление на 60 выполняется в
последнюю очередь.
Ответ: 
Пример.
Решить систему с
помощью обратной матрицы.
Действуем по алгоритму:
