- •Практикум по линейной алгебре
- •Тема 3. Действия с матрицами. Метод обратной матрицы для решения слау. Действия с матрицами
- •Действия с матрицами
- •1. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).
- •2. Умножение матрицы на число.
- •3. Транспонирование матрицы
- •5. Умножение матриц.
- •6. Нахождение обратной матрицы.
- •Алгебраические дополнения и миноры. Теоретическая справка.
- •2) Находим матрицу миноров
- •3) Находим матрицу алгебраических дополнений
- •4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .
- •5) Ответ.
- •1) Находим определитель матрицы.
- •2) Находим матрицу миноров
- •3) Находим матрицу алгебраических дополнений
- •4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .
- •5) Ответ:
- •Метод обратной матрицы
6. Нахождение обратной матрицы.
Важно! 1. Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц.
2. Если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
Обозначение. Обратная матрица обозначается надстрочным индексом .
Формула для нахождения обратной матрицы :
где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
Алгебраические дополнения и миноры. Теоретическая справка.
Пусть имеем определитель третьего порядка: .
Минором, соответствующим данному элементу aij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i-ой строки и j-го столбца. Миноры соответствующие данному элементу aij будем обозначать Mij.
Например, минором M12, соответствующим элементу a12, будет определитель , который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор Mij, умноженный на (–1)i+j.
Алгебраическое дополнение элемента aij обозначается Aij.
Связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством:
Aij = (–1)i+jMij.
Например,
Пример. Дан определитель . Найти A13, A21, A32.
Возвращаемся к нахождению обратной матрицы.
Пример:
Найти обратную матрицу для матрицы
Решаем. Последовательность действий по пунктам:
1) Сначала находим определитель матрицы.
Важно! Проверить существование обратной матрицы, сравнив полученное значение с 0.
В рассматриваемом примере , а значит, можно решать дальше.
2) Находим матрицу миноров
Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае .
Сначала рассмотрим левый верхний элемент матрицы А Как найти его минор? Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент: Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров: Рассматриваем следующий элемент матрицы : Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент: То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу: Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры: – матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
3) Находим матрицу алгебраических дополнений
В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел, которые обведены в кружок: – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
5) Ответ.
Вспоминаем формулу Таким образом, обратная матрица:
Ответ лучше оставить в таком виде.
Как проверить решение? Необходимо выполнить матричное умножение либо
Проверка:
Получена единичная матрица.
Таким образом, обратная матрица найдена правильно.
Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три».
Пример:
Найти обратную матрицу для матрицы
Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».