- •Тема 3. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
- •3.1. Нелінійне програмування
- •3.1.1. Постановка задачі
- •3.1.2. Труднощі розв’язування задач нелінійного програмування
- •3.1.3. Метод множників Лагранжа
- •Задача 4.1.
- •3.1.4. Приклади задач нелінійного програмування
- •Задача 4.2.
- •Інтерпретація множників Лагранжа
- •Тема 4. Прниципи побудови економетричних моделей. Парна лінійна регресія. Лінійні моделі множинної регресії
- •Социално-эконо-
- •И сточники базовых компонентов эконометрической науки
- •Место эконометрии среди смежных дисциплин
- •Системы одновременных уравнений
- •Формирование совокупности наблюдений
- •Эконометрические модели
- •Парная регрессия и корреляция. Множественная регрессия и корреляция
- •Парная регрессия
- •1.1. Линейная модель парной регрессии и корреляции
Тема 3. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
3.1. Нелінійне програмування
3.1.1. Постановка задачі
Розв’язуючи задачі оптимального управління (планування), доводиться враховувати нелінійний характер взаємозв’язків між економічними показниками. У загальному вигляді нелінійна економіко-математична модель має вигляд:
за умов
,
де і — нелінійні функції.
3.1.2. Труднощі розв’язування задач нелінійного програмування
Задачу нелінійного програмування намагаються звести до лінійного вигляду. Проте в такому разі можливі значні похибки. Нехай, наприклад, собівартість продукції y визначено як функцію , де х — обсяги виробництва. Ввівши заміну , дістанемо лінійну залежність . За такої заміни похибки немає. А коли , то заміна цієї залежності деякою лінійною функцією призводить до значних похибок, що ілюструє рис. 6.3.
Рис. 6.3.
У точках х1 і х3 значення собівартості для обох розглядуваних функцій однакові, але в усіх інших точках ці значення відрізняються, причому в точці х2 значною мірою:
.
Отже, лінеаризація нелінійних процесів є досить складною математичною задачею.
Для лінійних задач можна завжди знайти оптимальний розв’язок універсальним методом — симплексним. При цьому немає проблеми з доведенням існування такого розв’язку. Адже в результаті розв’язування задачі симплексним методом завжди дістаємо один із варіантів відповіді: 1) знайдено розв’язок; 2) задача суперечлива, тобто її розв’язку не існує; 3) цільова функція не- обмежена, отже, розв’язку також немає.
Для задач нелінійного програмування не існує універсального методу розв’язування, тому щоразу слід доводити існування розв’язку задачі, а також його єдиність. Це досить складна математична задача.
Відомі точні методи розв’язування нелінійних задач, але при цьому постають труднощі обчислювального характеру. Навіть для сучасних ПЕОМ відповідні алгоритми є доволі трудомісткими.
Для розв’язування нелінійних задач застосовують наближені методи, стикаючись із проблемою локальних і глобальних оптимумів. Наприклад, на рис. 6.4. маємо на відрізку локальні оптимуми в точках х0, х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, х9, а глобальний — у точці х4 і х6.
Рис. 6.4
Більшість наближених методів дають змогу знаходити локальний оптимум. Визначивши всі локальні оптимуми, методом порівняння можна знайти глобальний. Проте для практичних розрахунків такий метод не є ефективним. Часто наближені методи не «вловлюють» глобального оптимуму, зокрема тоді, коли глобальний оптимум лежить досить близько до локального. Якщо відрізок [x0, x10] розіб’ємо на десять підвідрізків і глобальний оптимум потрапить у відрізок [xi, xi+1] (див. рис. 6.4), а ліворуч від xi та праворуч від xi+1 крива y = f (x) підніматиметься, то глобальний оптимум буде пропущеним. Звернемо увагу ще на один дуже важливий момент. У задачах лінійного програмування точка оптимуму завжди була граничною. Для нелінійних задач точка, яка є оптимальним планом, може бути граничною або такою, що міститься всередині допустимої області розв’язків (планів).