Арифметичні основи еом. Системи числення
Під системою числення розуміють сукупність прийомів запису і найменування чисел.
Системи числення бувають непозиційні (римська нумерація) і позиційні; прикладом позиційної є десяткова система числення.
В позиційній системі числення значення кожної цифри змінюється із зміною її положення (позиції) в послідовності цифр, що зображають число.
Десяткова система – використовує десять різних знаків ( цифр ) для запису будь-яких чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Запис числа в цій системі засновано на тому, що десять одиниць кожного розряду об'єднуються в одну одиницю сусіднього, старшого розряду.
Число «десять» називається основою системи, а цифри «0», «1»... «9» – базисними числами системи.
В десятковій системі числення кожне число представляється у вигляді суми різних ступенів числа 10 з коефіцієнтами, які можуть приймати значення від 0 до 9 включно.
де :
– основа десяткової системи
числення;
будь-яке ціле значення від 0
до 9
n - 0, 1, 2 ..
Двійкова система числення.
Позиційна система числення з основою 2 називається двійковою.
Для запису числа в двійковій системі використовуються дві цифри – «0» і «1». Будь-яке число в двійковій системі числення представляється у вигляді :
.
де :
основа двійкової системи
числення;
одне із значень «0» або «1».
0,1,2,3,4,5…
Приклад запису чисел в десятковій і двійковій системах числення :
Дес.с.ч. Дв.с.ч.
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Перехід з двійкової системи числення в десяткову і назад
Перехід з двійкової системи числення в десяткову легко виконується на основі двійкового розрядного ряду (числових значень ступенів числа 2).
5 4 3 2 1 0 - Ступені «2»
32 16 8 4 2 1 - Їх числове значення
1 0 1 0 1 0 = 32+0+8+0+2+0=42
1 1 0 1 1 1 = 32+16+0+4+2+1=55
Щоб перевести число з десяткової системи числення в двійкову, необхідно послідовно ділити десяткове число і його десяткові частки на основу двійкової системи, тобто на число 2. Ділення проводити до тих пір, поки отримана частка не стане менше основи «2», а значить не стане рівною 1 чи 0.
Наприклад:
Пояснення:
Розділивши число на 2, взнаємо, скільки в ньому двійок. Якщо є залишок від ділення, рівний «1», значить в молодшому розряді повинно бути «1», якщо залишку немає – «0».
Отримане число двійок ділимо на 2, щоб взнати, скільки в числі четвірок. Якщо залишок є, значить в розряді двійок (другому) - «1», якщо залишку немає – «0».
Отримане число четвірок ділимо на 2, щоб взнати, скільки в числі вісімок. Якщо залишок є – в розряді четвірок (третьому) «1», якщо залишку немає – «0».
І т.д.
Зв'язок систем числення з фізичними принципами роботи еом.
Елементи, на яких побудовані пам’ять ЕОМ, по своїй фізичній природі можуть знаходитися лише в одному з двох стійких станів: «включено» або «вимкнено». Один із стійких станів елемента відповідає цифрі «0», інше – «1».
За допомогою двохпозиційних елементів легко зображуються розряди двійкового числа. Тому двійкова система числення виявляється дуже вдалою для її застосування в обчислювальних машинах. В двійковій системі легко реалізуються арифметичні і логічні операції.