4. Оценка параметров уравнения тренда

При использовании полиномов разных степеней оценка параметров уравнения тренда производится МНК точно так же, как оценки параметров уравнения регрессии на основе пространственных данных.

В качестве зависимой переменной рассматриваются уровни динамического ряда, а в качестве независимой переменной – фактор времени t, который обычно выражается рядом натуральных чисел 1,2,3, … n.

Оценки параметров нелинейных по оцениваемым параметрам функций проводится МНК после линеаризации, т.е. приведения их к линейному виду. Например, для оценки параметров показательной кривой необходимо привести ее к линейному виду путем логарифмирования:

.

Далее строится система нормальных уравнений:

.

Из системы находят значения и , далее находят а и b: и .

2. Оценка адекватности модели тенденции

Модель тенденции считается адекватной реальному процессу, если теоретические (найденные по уравнению тренда) уровни ряда достаточно близко подходят к фактическим их значениям, т.е. и мало отличаются друг от друга. Для оценки адекватности модели проводится анализ остатков ( ).

Модели тенденции можно сравнивать по величине остаточной суммы квадратов: .

Чем меньше эта величина, тем в большей степени уравнение тренда подходит для описания тенденции временного ряда.

Другим показателем при выборе функции тренда является коэффициент детерминации R². Чем выше R², тем выше вероятность того, что данная модель тенденции описывает исходные данные. Величина отражает влияние случайной составляющей, т.е. показывает, какая доля вариации уровней динамического ряда не связана с тенденцией.

Однако рассмотренные критерии адекватности модели тенденции ( S и R²) могут привести к неправильным выводам, если не учитывать статистическую значимость параметров уравнения тренда.

Уравнение тренда хорошо описывает тенденцию, если отсутствует автокорреляция в остатках, т.е. остатки текущего периода не коррелируют с остатками предыдущего периода. Измерить автокорреляцию в остатках можно с помощью коэффициента автокорреляции остатков:

.

Чем ближе коэффициент автокорреляции остатков к нулю, тем больше оснований говорить об отсутствии связи между соседними величинами остатков.

Для оценки автокорреляции в остатках применяют критерий Дарбина-Уотсона:

.

Критерий Дарбина-Уотсона изменяется в пределах .

Расчетное значение критерия Дарбина-Уотсона сравнивается с табличным. По таблицам определяют нижнюю и верхнюю границы критерия при заданном числе наблюдений n и m параметрах при t в уравнении тренда.

Если расчетное значение , то возможны следующие варианты:

а) при делается вывод о наличии положительной автокорреляции в остатках;

б) при делается вывод об отсутствии корреляционной связи последующих остатков с предыдущими;

в) при нельзя сделать определенного вывода о наличии или отсутствии автокорреляции в остатках.

Если фактическое значение , что означает отрицательную автокорреляцию. При этом возможны следующие варианты:

а) при делается вывод о наличии отрицательной автокорреляции в остатках;

б) при делается вывод об отсутствии автокорреляции в остатках;

в) при нельзя сделать определенного вывода о наличии или отсутствии автокорреляции в остатках.

Таким образом, если расчетное значение критерия Дарбина-Уотсона не слишком отличается от 2, то можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции в остатках.

Помимо адекватности выбранной модели необходимо охарактеризовать ее точность. Наиболее простым критерием точности модели является средняя относительная ошибка аппроксимации:

.