2. Автокорреляция уровней временного ряда

При наличии тенденции в ряду динамики каждый последующий уровень ряда зависит от предыдущего. Корреляционную зависимость между последовательными значениями уровней ряда называют автокорреляцией уровней временного ряда. Для измерения автокорреляции используется линейный коэффициент корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутого на несколько шагов во времени:

,

где у_t – фактические уровни динамического ряда;

– уровни того же динамического ряда, но сдвинутые на шагов во времени;

– величина лага (сдвига во времени), принимающая значения 1,2,3 и т.д. и определяющая порядок коэффициента автокорреляции.

Ввиду уменьшения числа наблюдений при сдвиге динамического ряда, максимальная величина лага не должна превышать , где n – количество уровней в динамическом ряду.

При рассчитывается коэффициент автокорреляции первого порядка, т.е. измеряется корреляция текущих значений уровней динамического ряда (у_t) с предшествующими уровнями (у_t-1).

Значение коэффициента автокорреляции изменяется в пределах от -1 до +1, как и у линейного коэффициента корреляции.

Серию коэффициентов автокорреляции уровней ряда с последовательным увеличением величины лага называют автокорреляционной функцией (АКФ), а их графическое изображение с координатами (величина лага; коэффициент автокорреляции) – коррелограммой.

АКФ дает представление о внутренней структуре динамического ряда. С помощью АКФ можно определить наличие или отсутствие в ряду динамики периодических колебаний и величину периода колебаний: она равна той величине лага, при которой коэффициент автокорреляции наибольший.

Определив несколько последовательных коэффициентов автокорреляции для изучаемого ряда, можно выявить лаг , при котором автокорреляция наиболее высока. Выделяют следующие основные положения анализа структуры временного ряда:

1) если наиболее высоким окажется значение коэффициента автокорреляции первого порядка , то изучаемый ряд содержит только трендовую компоненту;

2) если наиболее высоким окажется коэффициент автокорреляции порядка , то, кроме трендовой компоненты, исследуемый временной ряд содержит колебания с периодом , которые могут быть как циклическими, так и сезонными;

3) если же ни один из коэффициентов корреляции не окажется значимым, то можно сделать один из возможных выводов:

- ряд не содержит трендовой и циклических компонент, а его колебания вызваны воздействием случайной компоненты, т.е. имеет место модель случайного тренда;

- ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой необходимо провести дополнительный анализ.

3. Виды трендов

Построение модели тенденции (уравнения тренда) включает в себя следующие этапы работы:

- выбор математической функции, описывающей тенденции;

- оценка или определение параметров модели;

- проверка адекватности выбранной функции и оценка точности модели;

- расчет точечного и интервального прогнозов.

По аналитическому виду различают следующие виды трендов.

Линейный тренд ,

где - выровненные (теоретические) уровни тренда;

- номера моментов или периодов времени, к которым относятся уровни временного ряда;

- параметры уравнения тренда.

Величина параметров определяется с помощью МНК. Для этого строят систему нормальных уравнений:

Линейный тип тренда подходит для отображения тенденции примерно равномерного изменения уровней, т.е. равных абсолютных приростов.

Основные свойства линейного тренда:

1. равные изменения за равные промежутки времени;

2. если средний абсолютный прирост – положительная величина, то величина относительного прироста постепенно уменьшается;

3. если среднее абсолютное изменение – отрицательная величина, то относительные изменения по абсолютной величине увеличиваются.

Параболический тренд .

Данная функция рекомендуется для моделирования тенденции, если временной ряд характеризуется постоянным абсолютным ускорением, т.е. постоянными являются вторые разности (приросты абсолютных приростов).

t		Абсолютные приросты (скорость)	Приросты абсолютных приростов (ускорение)
1		-	-
2			-
3
4
5

Широкое применение среди функций с монотонным характером возрастания (убывания) и отсутствием пределов роста (снижения) имеет показательная функция: .

Она выбирается, когда ряд динамики характеризуется стабильными (постоянными) коэффициентами роста:

t	1	2	3	4	5	6
Кр	-

Рост по показательной функции означает геометрическую прогрессию уровней динамического ряда, что в экономике возможно сравнительно небольшой период времени.

Предполагая разную меру пропорциональности изменений уровней во времени, может быть использована степенная функция: :

При степенная функция характеризует непрерывный рост уровней с падающими темпами роста, а при - их ускоренное снижение:

Гиперболический тренд .

Содержание параметров гиперболы:

а₀ – предел, к которому стремится уровень ряда.

а₁ – основной параметр гиперболы, если а₁>0, то уровни ряда замедленно снижаются и стремятся к а₀, если а₁<0, то уровни ряда замедленно возрастают и стремятся к а₀.

Логарифмический тренд применяют также как и гиперболический, если необходимо отразить постепенно затухающий процесс. Однако эти тренды имею существенное различие. Затухание по гиперболе происходит быстро при приближении к конечному пределу, а при логарифмическом тренде затухающий процесс продолжается без ограничения и гораздо медленнее.

Если а₁>0, то уровни возрастают с замедлением, если а₁<0, то уровни уменьшаются, тоже с замедлением.