4.4.2 Багатоканальна система з нескінченою чергою і обмеженим часом очікування (m/m/n)

В Даниному випадку маємо нескінчене число місць для очікування, тобто , але в цьому випадку випадковий процес вже має нескінчене число дискретних станів і виникає питання про існування ергодичних розподілів. Таким чином, на параметри і n необхідно накласти певні умови, які не дадуть черзі нескінченно зростати при .

Оскільки , то система диференціальних рівнянь(4.10) буде вміщувати нескінчене число таких рівнянь.

Отже, для випадку, що розглядається:

,

,

,

,

,

,

,

,

(4.24)

Початкові умови для системи рівнянь(4.24) визначаються виразом(4.11), але в цьому випадку індекс j змінюється в межах від 0 до , а умови нормування мають такий вигляд:

. (4.25)

Ергодичні розподіли отримаємо із формул(4.19) і (4.20) шляхом підстановки . В результаті матимемо

(4.26)

де

. (4.27)

Аналіз формули(4.27) показує, що необхідно встановити певні співвідношення між параметрами для забезпечення кінцевої довжини черги при . Остання формула вимагає дослідження нескінченого ряду на збіжність. Для цього скористаємося ознакою збіжності Даламбера

.

Отже,

.

і тому вказаний ряд збігається при додатних значеннях .

4.4.3 Система мо з очікуванням і необмеженою чергою (m/m/n; )

Допускається, що в багатоканальній системі з N обслуговуючими приладами і необмеженою ємністю буфера немає обмежень на час очікування ( ).

Систему диференціальних рівнянь, які характеризують стан системи МО в момент часу t, отримаємо із(4.24) за умови , що . Маємо:

,

,

,

,

,

,

,

(4.28)

Початкові умови і умови нормування визначаються таким же чином, як і для системи M/M/N( ). Ергодичні ймовірності розподілу отримаємо із рівнянь (4.32) і (4.27), допустивши, що . Отже,

(4.29)

де

. (4.30)

Ряд буде збіжним за умови , що або, враховуючи значення , умова збіжності набуде такого вигляду: . За такої умови ряд є нескінченною геометричною прогресією, сума якої , де - перший член геометричної прогресії; q – її знаменник. Оскільки , то _. Тепер обчислимо і відповідно .

Зроблені обчислення дають можливість знайти ергодичні значення ймовірностей для різних станів системи МО

(4.31)

де

. (4.32)

Таким чином, при для системи МО типу M/M/N ергодичне значення визначається лише кількістю обслуговуючих приладів і не залежить від довжини черги.

Контрольні запитання і завдання

1. Назвіть основні типи систем масового обслуговування.

2. Дайте визначення абсолютного і відносного пріоритету в системах масового обслуговування.

3. Запишіть символіку системи масового обслуговування, якщо кількість обслуговуючих приладів – 5, ємність накопичувача – 35, потік вимог – пуасоновський, послідовність вимог – незалежна з рівномірним законом розподілу

4. Запишіть символіку системи масового обслуговування, якщо кількість обслуговуючих приладів – 6, ємність накопичувача – 30, потік вимог – рекурентний, послідовність вимог – незалежна з рівномірним законом розподілу

5. Запишіть символіку системи масового обслуговування, якщо кількість обслуговуючих приладів – 4, ємність накопичувача – 10, потік вимог – рекурентний, послідовність вимог – незалежна з експоненціальним законом розподілу

6. За якою формулою обчислюються ергодичні розподіли системи масового розподілу типу M/M/N/0?

7. Що розуміють під фіктивною операцією в системах масового обслуговування?

8. Обчислити інтенсивності переходів системи масового обслуговування, граф якої показаний на рисунку.

10. Знайти ймовірність того, що в системі масового обслуговування типу М/М/1/0 прилад не занятий операцією обслуговування, якщо , .

11. Знайти ймовірність того, що в системі масового обслуговування типу М/М/1/0 прилад занятий операцією обслуговування, якщо , .

12. Обчислити ергодична ймовірність того, що в системі масового обслуговування типу М/М/4/7 черзі буде знаходитись рівно 4 вимоги, якщо , , .

13. Обчислити ергодична ймовірність того, що в системі масового обслуговування типу М/М/6 черзі буде знаходитись рівно 3 вимоги, якщо , .

14. Багатолінійна система масового обслуговування типу M/M/N/ характеризується трьома параметрами , і . При яких значеннях параметрів , і ергодичні ймовірності існують?