Методи розв'язання системи нелінійних скінченних рівнянь

Задана система нелінійних скінченних рівнянь

(5.1)

n – кількість рівнянь. Необхідно визначити корені системи рівнянь (5.1).

Розглянемо приклад, який проілюструє рівняння (5.1).

Задано електричну схему, зображену на рисунку 5.1.

Рисунок 5.1 – Електрична схема

Для цієї схеми за законами Кірхгофа складаємо систему рівнянь

(5.2)

де

На підставі виразів для спадів напруг знайдемо вирази для визначення динамічних опорів

Вирази для динамічних опорів нам будуть потрібні пізніше.

У майбутньому, як тільки Ви побачите рівняння (5.1), необхідно собі уявити якусь систему рівнянь для більш реального фізичного процесу, наприклад: (5.2).

Далі, ми на прикладі рівняння (5.2), яке відповідає електричній схемі, представленій на рисунку 5.1, практично розглянемо як застосувати різні методи для одержання розв’язку (5.2).

Метод мінімізації суми модулів нев’язок

Суть методу полягає в тому, що систему рівнянь (5.1) зводимо до одного рівняння

. (5.3)

Якщо підберемо будь-яким способом x₁, x₂, x₃, …, x_n так, щоб кожний доданок у рівнянні (5.3) дорівнював нулю, то  = 0 і значення x₁, x₂, x₃, …, x_n є коренями рівняння. Вважатимемо, що чим ближче значення  до нуля, тим ближче розташовані значення невідомих до коренів рівняння. Ми повинні виробити стратегію таким чином, щоб на кожному нашому кроці ітерації значення  зменшувалося, тобто,   0.

Щодо стратегії зрозуміло все. Тепер перейдемо до реалізації нашого плану: виберемо певні початкові значення всіх невідомих і розпочнемо так званий „спуск за координатами”, суть якого зводиться до такої послідовності дій:

• за початковими умовами обчислюємо значення ;

• змінюємо x₁ на досить малу величину ±x₁ і обчислюємо значення ;

• вибираємо такий знак при величині x₁, при якому зменшилося значення ;

• продовжуємо нарощувати  до моменту спадання , у якийсь момент ітераційного процесу  зросте, що сигналізує: підвищилося значення , треба змінити стратегію;

• повертаємося на ітераційний крок назад (при якому було зафіксоване мінімальне значення ) і замість початкового значення змінної x₁, записуємо нове значення, яке ми одержали на попередньому кроці ітерації. Якщо б Ви нарисували графік залежності m від x₁, то побачили б, функція ніби опускається при зміні x₁ (звідси і виникла назва „спуск за координатою”);

• вибираємо наступне початкове значення невідомої x₂ і продовжуємо роботу алгоритму мінімізації , але вже проводимо спуск за координатою x₂; надалі за координатою x₃, … , x_n, x₁, … , доки m не стане дуже малою величиною або не виконається умова m = 0. Поняття „дуже мала величина” вибирається Вами або Вам її задали.

Шкода, що цим методом не завжди вдається одержати розв’язання системи рівнянь, бо спуск за координатами ніби натрапляє на яму, з якої вибратися не може – в який бік не підеш – всюди горб. „Що ж робити тоді?”

- Вибирати інші початкові значення і повторити процес обчислення або пробувати розв’язати задачу іншим методом.

Не кожен ключ відчиняє двері.