70. Свойства непрерывности функции в точке
Y=f(x) и y=g(x) xo
F(x) g(x)
F(x) * g(x)
, g(xo)
Y = g(x), z=f(y)=f(g(x))
G(x) , xo, z=f(y) yo=g(xo) z=f(g(x))
Если функция непрерывна, то обратная ей непрерывна в области своего определения.
72. Свойства функций непрерывных на отрезке
1) y = f(x) [a,b] - ограничена на этом отрезке
2) если определить понятие точной верхней и нижней грани, то можно доказать, что непрерывность функции на отрезке, по-крайней мере в одной точке данного отрезка применяют значение точной верхней и нижней грани множества значений функции на отрезке.
3) y = f(x) [a,b]
F (a) f(b) , тогда на этом отрезке сущ. хотя бы одна точка, в котором f(x) принимает любое промежуточного значения между f(a) и f(b)
F(a)<f(b) f(a) < A< f(b) xo f(xo) = A
4)Если f(a) * f(b) < 0, то xo, f(xo)=0
73. Определение производной функции.
Пусть y = f(x), xo, x – превращаемая функция
x = x0 + x x= x- x0
f (x), f ( fo + x) – f(xo)
то производная от у=f(x) называется предел отношения превращения f к соотв. Превращения f аргумента при условии что превращаемый аргумент стремится к «О»
y` = f` (x0) = = =
операция нахождения производной функции дифференциация.
74. Механический смысл производной
мгновенная скорость v (t0) - – это производная координаты по времени.
пусть тело движется вдоль некоторой прямой и известен закон движения этого тела
дана V , to,
V = = f` (to)
75. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной.
Геом смысл производной – это угловой коэффициент касательной кривой к данной точке.
=
= f(x0)
Уравнение касательной
75. Непрерывность и дифференцируемость функций.
Если функция в каждой точке имеет производную – то она дифференцируемая.
функция
у=f(x) называется непрерывной в точке,
если бесконечно малому приращению
аргумента в этой точке соответствует
бесконечно малое приращение функции,
то есть
87. Понятие дифференциала функции.
Превращение функции может быть представлено в виде двух производных. Первое – пропорционально f(x`) , а второе имеет более высокий порядок чем первое.
Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):
dy=ƒ'(х)•∆х
dy=dx=∆x dх=∆х.
dy=ƒ'(х)dх
Для нахождения дифф достаточно найти её производную и умножить на dx
Y = x2 y`=2x dy=2xdx
88. Теорема Ферма
Если y = f(x) непрерывна на интервале (a,b) , в некоторой точке а = x0 < b , достиг локального минимума и максимума и имеют производную в точке xo , то f`(xo) = o
89. Теорема Роля
Если Y = -f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируемая на интервале (a,b) и на концах отрезка принимает равные значения f(a)=f(b), то на интервале (a,b), то f`(x0) = 0.
90. Теорема Лагранжа
Частный случай теоремы Коши
G (x) = x ( непрерывна, дифференцируемая, производная 1), то = f`(x0)
F(b) – f(a) = f`(x0) (b-a)
91. Теорема Коши
Пусть заданы y = f(x), y=g(x), непрерывна на отрезке [a,b] , дифферец на интервале (a,b)и g`(x) тогда на интервале (a,b) существует такая точка x0 (неединственная) , что выполняется
=
92.Правило Лопиталя
Позволяет упростить процесс раскрытия неопределенностей, то есть нахождение пределов, когда непосредственная подстановка значений предела приводит к одной из неопределенностей :
; 00; 0*
; =( ) =0 и =0
Тогда если f(x) и g(x) дифферц-е, то предел их отношений можно заменить пределом отношений их производных
=( ) =
95. Исследование функций с помощью производных (монотонность)
F возрастает если x1<x2 f(x1)<f(x2)
F убывает если x1>x2 f(x1)>f(x2)
2 –x1 =2 ) –f (x1) > 0, >0
> 0 y` < 0 y`
Если f , то её производная
Если f , то её производная
96. Экстремум
X = x0 0) = 0
Но в точке экстремума функция может быть не дифферинц.
Необходимый признак экстремума – если в x0 – точка экстремума, то произведение в этой точке = 0, или не существует.
Точки в которых = 0 или не сущ – критические стационарные.
Стацион точка явл т э=мА если при переходе через эту точку f` меняет свой знак.
При этом если + меняется на - - точка max, если – на + - т min