0. Гармонічні поля.

КОМПЛЕКСНІ ВЕКТОРИ ПОЛЯ

Гармонічні коливання, наприклад, для напруженості магнітного поля, описуються в дійсній формі за формулою

(1.24)

де – амплітуда;

– кругова частота;

– початкова фаза.

В комплексній формі цей запис вектора такий:

(1.25)

Цю формулу можна перетворити в такий вид:

Позначимо

Величина називається комплексною амплітудою. Тоді вираз (1.25) прийме вид

.

(1.26)

Зв'язок між дійсною формою і комплексною становитиме

(1.27

З формули (1.27) випливає висновок.

Щоб перейти від комплексної амплітуди до запису в дійсній формі для миттєвих значень, потрібно комплексну амплітуду помножити на і від отриманого результату взяти дійсну частину.

Це дозволить робити математичні перетворення над комплексними амплітудами, що є функціями тільки координат, а кінцевий результат згідно з (1.27) перетворити в дійсну форму, коли це потрібно.

Тому рівняння електродинаміки при гармонічних коливаннях доцільно записувати в комплексній формі для комплексних амплітуд.

1.11. Рівняння максвелла для комплексних амплітуд векторів поля.

ПОНЯТТЯ ПРО КОМПЛЕКСНУ ПРОНИКНІСТЬ

Запишемо перше рівня Максвелла в дійсній формі:

.

Згідно з виразом (1.27)

(1.28)

З вищої математики відомо наступне.

Коли лінійним рівнянням задовольняють дійсні і уявні частини комплексної величини, то цим рівнянням буде задовольняти і сама комплексна величина.

Рівняння Максвелла – лінійні рівняння. Тому

,

або

.

Якщо скоротити ліву та праву частини цього рівняння на , то отримаємо перше рівняння електродинаміки в комплексних амплітудах:

.

Аналогічно можна отримати і решту рівнянь електродинаміки в комплексних амплітудах.

Для цього зробимо формальну заміну:

; ; ; ;

; ; .

Тоді повна система рівнянь електродинаміки в комплексний формі має вигляд:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. .

Для з’ясування питання про комплексну провідність розглянемо перший закон електродинаміки в комплексних амплітудах

.

Відомо, що

;

тому

.

Комплексна величина

– і є комплексною абсолютною

діелектричною проникністю середовища.

Тоді перше рівняння Максвелла можна записати у вигляді

.

Розглянемо докладніше:

де

; .

Відношення

.

де – (уявна частина ) визначає теплові втрати електромагнітної

енергії (ЕМЕ) в середовищі, яке має ;

– (дійсна частина ) визначає діелектричні властивості

середовища.

Вираз характеризує співвідношення струмів провідності та зміщення в діелектричну і називається тангенсом кута втрат. Він характеризує якість діелектрика.

Чим менше величина , тим кращий діелектрик.

Комплексну діелектричну проникність можна записати через тангенс кута втрат:

Для середовищ, що мають ,

,

тобто з’являється фазовий зсув між векторами та . Аналогічно можна ввести комплексну магнітну проникність середовища :

де – величина, що характеризує магнітні втрати (явище гістерезіса), наприклад в феромагнетиках.

Для цих середовищ

,

Тобто з’являється фазовий зсув між векторами та .

Таким чином, в провідних середовищах ( ) з’являються втрати ЕМЕ та фазовий зсув між векторами і або і .

1.12 БАЛАНС ЕНЕРГІЇ ЕМП. ВЕКТОР ПОЙТІНГА.

Однією з важливих характеристик ЕМП є його енергія.

У загальному випадку енергія усередині замкненого об’єму не залишається постійною.

До числа факторів, що визначають зміну енергії поля за часом, можна віднести:

перетворення частини ЕМП в енергію інших видів, наприклад в теплову енергію, зв’язану з протіканням струму провідності;

роботу сторонніх джерел, що в залежності від конкретних умов можуть як збільшувати енергію поля, так і зменшувати її;

обмін енергією між об’ємом та навколишнім простором (процес випромінювання, процес приймання ЕМП).

Математичний запис, що враховує всі ці фактори, є рівняння балансу енергії. (У фізиці – це закон збереження енергії).

Одержимо рівняння балансу енергії для деякого об’єму , обмеженого поверхнею . Усередині об’єму є сторонні джерела (рис. 1.17) з густиною заряду Джерела утворюють електричне поле з напруженістю

Рис. 1.17

Віднімемо від другого рівняння Максвелла, в якому помножені скалярно на вектор його ліва і права частини, перше рівняння Максвелла в диференціальній формі, в якому помножені скалярно його ліва і права частини на вектор , отримаємо вираз

Враховуючи, що ,

отримаємо

Проінтегруємо по об’єму та застосуємо до лівої частини формулу Остроградського-Гаусса, отримаємо

.

(1.29)

З’ясуємо фізичний сенс усіх членів отриманого рівняння. – має розмірність [В/м А м³] [Вт] і становитиме собою потужність (Р).

Тому і всі інші доданки являють собою потужність.

У загальному випадку струм з густиною породжує поле джерела з напруженістю та зовнішні поля з напруженістю

.

Звідси випливає

Тоді

;

де –потужність сторонніх джерел;

– потужність втрат в об’ємі , яка визначається за законом Джоуля-Ленца.

З’ясуємо фізичний сенс інтегралу

.

Розглянемо підінтегральний вираз докладніше

;

.

Тому

де – енергія магнітного поля (МП);

– енергія електричного поля (ЕП);

– густина енергії МП;

– густина енергії ЕП.

Тоді остаточно

– швидкість зміни енергії ЕМП в об’ємі .

Позначимо . Тоді вираз (1.29) становитиме:

.

(1.30)

Це рівняння характеризує баланс енергії ЕМП в об’ємі і є формулюванням теореми Умова-Пойнтінга. Рівняння (1.29) – запис рівняння балансу енергії в інтегральній формі.

Розглянемо два часткових випадки доданка .

А). коли усередині області втрат немає

і (W=const),

то

.

Тобто потужність сторонніх сил витрачається за межами області .

Це потужність випромінювання.

Потік вектора чисельно дорівнює потужності випромінювання. Він існує за рахунок сторонніх джерел. Потік вважається позитивним, коли він виходить з об’єму.

Б). Якщо

і (W=const),

то втрати всередині об’єму існують за рахунок поглинання енергії з навколишнього простору

.

Знак «мінус» показує, що потік негативний (входить в об’єм).

Отже формулюємо теорему Умова-Пойнтінга:

Потужність сторонніх джерел ( ) витрачається на потужність втрат ( ), на зміну енергії усередині об’єму ( ) та на потужність випромінювання. .

Вектор називається вектором Пойнтінга.

Вектор Пойнтінга чисельно дорівнює густині потоку потужності, тобто кількості енергії, що проходить через одиничну площадку перпендикулярну до вектора , за 1 секунду.

Напрям вектора визначається за правилом правого гвинта і вказує напрям розповсюдження енергії ЕМП.

Якщо обертати гвинт від вектора до вектора у бік найменшого кута, то рух гвинта вказує напрям вектора .

1.13 РОЗВ’ЯЗАННЯ РІВНЯНЬ ЕЛЕКТРОДИНАМІКИ ЗА ДОПОМОГОЮ ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦІАЛУ (МЕТОД ДОПОМІЖНИХ ФУНКЦІЙ)

Визначення векторів поля та безпосередньо з рівнянь Максвелла у більшості випадків виконати важко.

Тому застосовують штучні засоби, що полегшують розв’язання поставленої задачі.

Одним з таких засобів є метод розв’язання рівнянь Максвелла за допомогою векторного потенціалу.

Розглянемо цей метод.

Якщо взяти четверте рівняння Максвелла в диференціальній формі

і порівняти його з відомою тотожністю векторного аналізу

,

то можливо припустити, що

,

(1.31)

де і є векторним потенціалом.

Очевидно,

,

(1.32)

Тобто для знаходження векторів магнітного поля і достатньо знати векторний потенціал .

Щоб визначити вектори електричного поля і через векторний потенціал , скористаємося першим рівнянням Максвелла і припустимо, що (струм провідності відсутній), отримаємо:

,

Тоді

;	(1.33)
.	(1.34)

Таким чином, згідно (1.31), (1.32), (1.33), (1.34) можна знайти усі вектори електромагнітного поля.

Для цього необхідно знайти тільки векторний потенціал .

Векторний потенціал можна знайти за формулою

,

(1.35)

де – комплексна амплітуда вектора густини струму сторонніх джерел, що створюють ЕМП;

– постійна розповсюдження;

– відстань від джерел до точки спостереження.

Питання 1.1. Розподіл електричного струму по поперечному перетину провідника з площею характеризує щільність електричного струму . Як розрахувати силу струму , що тече по провіднику? Чому дорівнює потік вектора через поверхню , що спирається на замкнений контур , що охоплює провідник. (рис. 1.1) Питання 1. 2. Розподіл поверхневого току по поверхні провідника характеризує лінійна щільність струму . Розрахувати кількість електрики, що протікає за 1с через відрізок лінії , що лежить на поверхні. Питання 1. 3. Покажіть, що 1 ньютон на кулон дорівнює 1 вольту на метр.

Рис. 1.1

Питання 1.4. Який сенс має потік вектора швидкості руху рідини через рамку площею , що опустили у рідину? Чому дорівнює потік вектора через будь яку замкнену поверхню , що помістили у рідину, якщо всередині неї нема ні джерел ні стоків (рис. 1.4.1)?

Рис. 1.4.1

Питання 1. 5. Розрахувати потік вектору через сферу радіусом , якщо електричне поле утворює додатній заряд , що розташований у центрі сфери. Чи буде відрізнятися величина потоку, якщо у якості поверхні, що оточує заряд , вибрати сферу радіусом ? Питання 1. 6. Чому дорівнює потік вектору через будь яку замкнену поверхню ? Питання 1.7. Нехай – радіус-вектор, проведений з початку координат у точку M з координатами . Розрахувати і Питання 1.8. Вивести рівняння безперервності , використовуючи 1-е і 2-е рівняння Максвела у диференціальній формі.

ВІДПОВІДІ НА ПИТАННЯ.

1.  Так як величина вектора визначає кількість електричної енергії, що протікає за 1 с через площадку площею 1 м², що орієнтована як величина вектору перпендикулярно вектору , то кількість електроенергії , що протікає за 1 с через площадку , що лежить у площині поперечного перетину (рис. ВП.1),

Рис. ВП 1.1.1.

буде дорівнювати , де вектор, що дорівнює ( – одиничний вектор нормалі до площадки ). Тоді сила струму , тобто кількість електроенергії, що переноситься за 1 с через увесь поперечний перетин провідника площею , буде знайдено із співвідношення .

Із розглянутого видно,що сила струму – це потік вектора через поверхню . У розглянутому прикладі – частина плоскості, що лежить в межах поперечного перетину провідника. Легко зрозуміти, що результат не зміниться, якщо б інтегрування проводилось по поверхні будь якої форми. Тому потік вектора через поверхню (рис. 1.2 ) просто дорівнює силі струму, що протікає по провіднику, оскільки інтегрування по ділянкам поверхні , що лежать поза провідником , дає нульовий внесок у інтеграл .

2. Розглянемо елемент лінії довжиною (рис. 1.8). Оскільки величина вектора виявляє кількість електрики, що переноситься за 1 с через відрізок лінії одиничної довжини, який перпендикулярний вектору , то кількість електрики, що проходить за 1 с через елемент , буде дорівнювати де – орт, перпендикулярний і торкається поверхні. Тоді кількість електрики, що переноситься за 1 с через відрізок лінії , буде дорівнювати

де – проекція вектору на направлення

Рис. ВП 1.2.1.

3. Для відповіді на це питання достатньо згадати із фізики, що сила, яка дії на одиничний додатній заряд з боку електричного поля, , де – потенціал електричного поля. У простому випадку однорідного електричного поля числове значення вектору знаходимо із співвідношення , де – різниця потенціалів між точками, що розташовані на відстані . Приймаючи , , отримаємо одиницю напруженості електричного поля , що еквівалентна одиниці . На практиці напруженість електричного поля вимірюється саме у вольтах на метр. Наприклад, радіо і телевізійні сигнали з напруженістю в 1 мікровольт на метр знаходяться на межі чутливості добротного приймача.

4. Потік вектора швидкості руху рідини через рамку площею дорівнює її об’єму, що проходить крізь рамку за одиницю часу. Тоді потік вектора крізь замкнену поверхню має наступний сенс: це кількість рідини, що протікає крізь поверхню за одиницю часу. Якщо всередині області, що обмежена поверхнею немає джерел рідини і вона всередині не зникає (немає стоків), то очевидно, що сумарний потік рідини через поверхню дорівнюватиме нулю. Кількість рідини, що входить через частину поверхні буде дорівнювати кількості рідини, що виходить через частину поверхні (див. рис. 1. 4.1) .

5. Величина вектора у кожній точці поверхні сфери, що оточує додатній заряд , однакова і відповідно до закону Кулона дорівнює , а його напрямок співпадає із зовнішньою нормаллю до цієї точки (рис. 1.5.1.). Тоді для потоку вектора маємо:

Рис. 1.5.1

Отриманий результат не залежить від радіуса сфери, тому він не зміниться, якщо розглянути сферу іншого радіуса. Зверніть увагу, що така властивість потоку вектора є слідством обернено пропорційної залежності поля від квадрату відстані.

6. Як відомо, магнітне поле є вихровим. Силові лінії вектора завжди безперервні і не мають джерел і стоків. Тому число силових ліній, що входять у замкнену поверхню , дорівнює числу ліній, що виходять, тобто потік вектора через задовільну замкнену поверхню завжди дорівнює нулю. . Така властивість потоку вектора доводить відсутність у природі магнітних полів.

7. Розрахуємо . Так як , то

.

Розрахуємо

8. Необхідно взяти дивергенцію від обох частин першого рівняння Максвела у диференціальній формі. Враховуючи,що , отримаємо . Оскільки згідно третьому рівнянню Максвела , остаточно отримаємо рівняння безперервності

.

Таким чином рівняння Максвела знаходяться у згоді з фундаментальним законом природи – законом збереження енергії.

33