Приклад 1 розв’язання задачі д.6. Третій рівень складності.
Однорідна прямокутна горизонтальна платформа зі сторонами R і 2R, де R=1 м, маси m1=20 кг обертається з кутовою швидкістю ω0 =8 c-1 навколо вертикальної осі z, яка відстоїть на відстані b=OC від центра ваги С платформи (рис. 21.17).
В момент часу t0=0 по прямолінійному жолобу KE платформи починає рухатись під дією внутрішніх сил тягар D маси m2=6 кг за законом S=AD=f(t), де S виражено в метрах, t—в секундах. Одночасно на платформу починає діяти пара сил з моментом Нм.
Дано: m1=20 кг; m2=6 кг; ω0=8 с-1; R=1 м; b=ОС=R; M=3t2+t Нм; S=AD=0,3cos(2t) м.
Визначити: ω=f(t) - залежність кутової швидкості платформи від часу t.
Розв’язання. Розглянемо механічну систему, що складається з платформи і тягаря D. Використаємо теорему про зміну кінетичного моменту системи відносно осі z
. (1)
Покажемо на рис. 21.17 всі зовнішні сили, що діють на систему. Оскільки всі задані сили і реакції опор або паралельні до осі z, або цю вісь перетинають, то їх моменти відносно осі z дорівнюють нулю. Тоді рівняння (1) приймає вигляд
;
(2)
Розділимо змінні в рівнянні (2) і проінтегруємо:
;
. (3)
Далі розв’язання задачі аналогічне наведеному в прикладі розв’язання задачі Д.6 другого рівня складності. Одержимо
(4)
,
де
; (5)
(6) (7)
(8)
В рівняння (3) підставимо знайдене значення кінетичного моменту :
. (9)
Визначимо сталу інтегрування C1: при t0=0 ω=ω0, тоді
;
. (10)
Одержимо
, (11)
звідки
. (12)
Відповідь: .
Приклад 2 розв’язання задачі Д.6. Перший рівень складності.
Однорідна кругла горизонтальна платформа радіуса R=1 м і маси m1=20 кг обертається з кутовою швидкістю ω0 =8 c-1 навколо вертикальної осі z, що проходить через центр ваги С платформи (рис. 21.18).
Рис. 21. 18.
В момент часу t0=0 по жолобу платформи починає рухатись під дією внутрішніх сил тягар D маси m2=6 кг за законом . Форма жолоба—коло радіуса R (обід платформи).
Дано: m1=20 кг; m2=6 кг; ω0=8 с-1; R=1 м; b=0; м; t1=1 с.
Визначити: кутову швидкість ω1 платформи в момент часу t1.
Розв’язання. Розглянемо механічну систему, що складається з платформи і тягаря D. Використаємо теорему про зміну кінетичного моменту системи відносно осі z
. (1)
Покажемо на рис. 21.18 всі зовнішні сили, що діють на систему: сили ваги і , складові реакції підп’ятника B, складові реакції підшипника H. Оскільки всі ці сили або перетинають вісь z, або до неї паралельні, то
, і . (2)
Для даної механічної системи
, (3)
де і - кінетичні моменти платформи і тягаря D відповідно.
Платформа обертається навколо нерухомої осі z:
(4)
де .
Тоді
(5)
Тягар D виконує складний рух; будемо вважати його рух по платформі відносним, а обертання самої платформи—переносним рухом, тоді абсолютна швидкість тягаря
, (6)
де
;
.
Визначимо положення точки D на ободі платформи в моменти часу і с:
;
; ; (7)
;
; .
Покажемо на рисунку 21.18 точки D0 і D1, положення яких визначається кутами і відповідно.
Для положення тягаря D1 зображаємо вектор відносної швидкості (в бік збільшення дугової координати S) і вектор переносної швидкості (в бік обертання платформи за напрямом ω0).
За теоремою Варіньона
(9)
Тоді одержимо
(10)
Підставимо значення кінетичного моменту в рівняння (2):
. (11)
При t0=0 ω=ω0, тоді
; (12)
, (13)
звідки
. (14)
При t1=1 с
с-1.
Відповідь: ω1=8,79 с-1.