2.2 Вывод формул усилий в пролетах
1
)
нагружение «1+2» (рис.4)
Рис.4 Расчетная схема к нагружению «1+2»
М12…..М32 –по табл.1;
Lb –см. исходные данные;
g и ν –см. раздел.1
Выводим формулы моментов (М), поперечных сил (Q) и координат Х точек с максимальным моментом в пролете (Хmax):
Для пролета 1:
М = М12 + ((М21 – М12)/Lb)*x + [((g + ν)* Lb)/2]*х – ((g + ν)*х2)/2=
= -704+ [(-806-(-704)) /9]*х +((26.7+103)*9х)/2 – ((26,7+103)* х2)/2=
= -704 -11,333х + 583,65х – 64,85 х2 =
=-704 + 572,3х – 64,85 х2
(проверка : К=Lb= 9м; М= -704 + 572,3*9 - 64,85*92= -806кНм = М21 )
Q = dM/dX = (-704 + 572,3х – 64,85 х2)´ = 572,3 -129,7х
Хmax =572,3/129,7 =4,412 м
Для пролета 2:
М = М23 + ((М32 – М23)/Lb)*x + [(g * Lb)/2]*х – (g *х2)/2=
= -294+ [(-294-(-294)) /9]*х +(26.7*9х)/2 – (26,7* х2)/2=
= -294 + 120,15х – 13,35 х2
(проверка : К=Lb= 9м; М= -294 + 120,15*9 – 13,35*92= -294кНм = М32 )
Q = dM/dX = (-294 + 120,15х – 13,35 х2)´ = 120,15 -26,7х
Хmax =120,15/26,7 =4,500 м
2) нагружение «1+3» (рис.5)
Рис.5 Расчетная схема к нагружению «1+3»
М12…..М32 –по табл.1;
Lb –см. исходные данные;
g и ν –см. раздел.1
Для пролета 1:
М = М12 + ((М21 – М12)/Lb)*x + [(g * Lb)/2]*х – (g *х2)/2=
=-72 +(-352-(-72))*х/9 + (26,7*9)х/2 – 26,7 х2/2=
= -72 + 89,04х – 13,35 х2
(проверка : К=Lb= 9м; М= -72 + 89,04*9 – 13,35*92= -352кНм = М21 )
Q = dM/dX = (-72 + 89,04х – 13,35 х2)´ = 89,04 -26,7х
Хmax =89,04/26,7 =3,335 м
Для пролета 2:
М = М23 + ((М32 – М23)/Lb)*x + [((g + ν)* Lb)/2]*х – ((g + ν)*х2)/2=
= -788+ [(-788-(-788)) /9]*х +((26.7+103)*9х)/2 – ((26,7+103)* х2)/2=
= -788 + 583,6х – 64,85 х2
(проверка : К=Lb= 9м; М= -788 + 583,6*9 - 64,85*92= -788кНм = М32 )
Q = dM/dX = (-788 + 583,6х – 64,85 х2)´ = 583,6 -129,7х
Хmax =583,6/129,7 =4,500 м
3
)
нагружение «1+4» (рис.6)
Рис.6 Расчетная схема к нагружению «1+4»
М12…..М32 –по табл.1;
Lb –см. исходные данные;
g и ν –см. раздел.1
Практически использование метода предель-
ного равновесия при расчете многоэтажных рам зак-
лючается в «выравнивании» эпюры моментов загру-
жжения «1+4» (рис.6). Под данным термином понимается процедура снижения опорного момента М21 примерно на 30%, не только до значений, не меньших среднего значения максимальных моментов на опоре 2 при нагружениях «1+2» и «1+3», и приравнивания момента М23 новому значению М21. Происходящее при этом перераспределение усилий учитывается увеличением моментов М12 и М32 на 1/3 уменьшения М21 и М23, соответственно.
В нашем случае 30% снижения составляет:
∆М21= 0,3М21 = 0,3(-1000) = -300кНм
при этом:
М21 =М21(1+4) - ∆М21= -1000 – (-300) = -700кНм
что меньше среднего значения максимальных моментов на опоре 2 при нагружениях «1+2» и «1+3»
М2´=( М21(1+2) + М23(1+3))/2 = (-806+(-788))/2 = -797 кНм
поэтому принимаем:
∆М21= М21(1+4) - М2´= -1000 – (-797) = -203кНм
тогда:
М23=М21 = -797 кНм
М12 = М12(1+4) +∆М21/3 =-620 + (-203)/3= -688кНм
При снижении момента М23 на: ∆М23= М23(1+4) - М21= -975 – (-797)= -178кНм
Новый момент на опоре 3:
М32 = М32(1+4) +∆М23/3 = -725+ (-178)/3 = -784кНм
Р
асчетная
схема с «выправленными» опорными
моментами (к нагружению «1+4в») приведена
на рис.7
Рис.7 Расчетная схема к нагружению «1+4в»
Формула усилий в пролете 1 при нагружении «1+4в»
М = М12 + ((М21 – М12)/Lb)*x + [((g + ν)* Lb)/2]*х – ((g + ν)*х2)/2=
= -688+ [(-797-(-688)) /9]*х +((26.7+103)*9х)/2 – ((26,7+103)* х2)/2=
=-688 + 571,5х – 64,85 х2
(проверка : К=Lb= 9м; М= -688 + 571,5*9 - 64,85*92= -797кНм = М21 )
Q = dM/dX = (-688 + 571,5х – 64,85 х2)´ = 571,5 -129,7х
Хmax =571,5/129,7 =4,406 м
Для пролета 2:
М = М23 + ((М32 – М23)/Lb)*x + [((g + ν)* Lb)/2]*х – ((g + ν)*х2)/2=
= -797+ [(-784-(-797)) /9]*х +((26.7+103)*9х)/2 – ((26,7+103)* х2)/2=
= -797 + 585,1х – 64,85 х2
(проверка : К=Lb= 9м; М= -797 + 585,1*9 - 64,85*92= -784кНм = М32 )
Q = dM/dX = (-797 + 585,1х – 64,85 х2)´ = 585,1 -129,7х
Хmax =585,1/129,7 =4,511 м
Поскольку выбор расчетных значений поперечных сил производится из результатов двух расчетов – упругого и методом предельного равновесия, - определяем также формулы поперечных сил для нагружения «1+4» (рис.6).
Для пролета 1:
М = М12 + ((М21 – М12)/Lb)*x + [((g + ν)* Lb)/2]*х – ((g + ν)*х2)/2=
= -620+ [(-1000-(-620)) /9]*х +((26.7+103)*9х)/2 – ((26,7+103)* х2)/2=
=-620 + 541,4х – 64,85 х2
(проверка : К=Lb= 9м; М= -620 + 541,4*9 - 64,85*92= -1000кНм = М21 )
Q = dM/dX = (-620 + 541,4х – 64,85 х2)´ = 541,4 -129,7х
Хmax =541,4/129,7 =4,174 м
Для пролета 2:
М = М23 + ((М32 – М23)/Lb)*x + [((g + ν)* Lb)/2]*х – ((g + ν)*х2)/2=
= -975+ [(-725-(-975)) /9]*х +((26.7+103)*9х)/2 – ((26,7+103)* х2)/2=
= -975 + 611,4х – 64,85 х2
(проверка : К=Lb= 9м; М= -975 + 611,4*9 - 64,85*92= -725кНм = М32 )
Q = dM/dX = (-975 + 611,4х – 64,85 х2)´ = 611,4 -129,7х
Хmax =611,4/129,7 =4,715 м
Вычисление ординат эпюр М и Q сведены в таблице 2. Графики М и Q приведены на рис.8.