- •Інститут економіки та нових технологій Кафедра прикладної математики та математичного моделювання
- •Наклад 50 примірників Передмова
- •І. Основні питання, що вивчаються в розділі.
- •Іі. Основні теоретичні відомості. Приклади розв’язання задач. І. Функції. Класифікація функцій.
- •Іі. Границя функції однієї змінної.
- •1. Означення границі функції у точці
- •Теорема 1
- •Приклад 1
- •Розв’язання.
- •4. Обчислення границі функції в точці.
- •4.4. Границі показникових та логарифмічних функції.
- •2. Точки розриву. Класифікація.
- •Завдання 2
- •Варіанти завдань:
- •V. Список використаної і рекомендованої літератури.
4. Обчислення границі функції в точці.
Доводити, що число є границею функції у точці з одного боку складно, з іншого не завжди можливо наперед знати границю. Тому виникає проблема обчислення границь конкретних елементарних функцій у заданих точках. Для розв’язання цієї задачі використовують основні формули, які доводяться на основі теорем про границі.
1. (4.1)
2. (4.2)
3. (4.3)
4. (4.4)
5. (4.5)
Формули (4.1) – (4.5) мають місце за умови, коли границі існують і не дорівнюють нескінченності.
4.1. Границі многочлена та дробово-раціональної функції у точці.
Теорема 9
Границя многочлена у точці дорівнює значенню многочлена у цій точці, тобто , де Для доведення використовують основні формули та теорему 1 ( ).
Теорема 10
Границя раціональної функції , де – многочлени, у точці а дорівнює значенню цієї функції у точці, тобто , якщо .
Доведення проводимо, використовуючи основні формули та теорему 9.
Приклад 2
Знайти границю:
Розв’язання.
Використаємо теорему 10 і одержимо:
Приклад 3
Знайти границю: .
Розв’язання.
При знаходженні цієї границі ми не можемо використати теорему 10, бо границя знаменника дорівнює нулю. Підстановка числа під знак границі приводить до невизначеності типу . Для обчислення границі розкладаємо чисельник та знаменник на множники і скорочуємо на :
= = .
Зауваження. Якщо х=а – корінь многочлена , тобто , то за наслідком теореми Безу ділиться без остачі на , тому його можна розкласти на множники: , де – многочлен.
Приклад 4
Знайти границю: .
Розв’язання.
= .
4.2. Границі тригонометричних функцій. Перша важлива границя.
Теорема 11
.
Теорема 12
.
Теорема 13
.
Цю границю називають першою важливою границею.
Приклади 5 – 8
Знайти границі.
5.
6.
7.
8.
Теорема 14
.
Теорема 15
.
Приклади 9 – 10
Знайти границі.
9. .
10.
Означення 3. Дві нескінченно малі функції називаються еквівалентними, якщо Позначаються .
Розглянуті приклади дозволяють записати такі еквівалентні нескінченно малі функції:
.
При знаходженні границь доцільно нескінченно малі функції заміняти еквівалентними.
Приклад 11
Знайти границю: ;
Розв’язання.
= = = = =
4.3. Друга важлива границя.
Означення 4. Границя змінної величини при називається числом е ( – ірраціональне число).
Теорема 15
Друга важлива границя. , або .
Друга важлива границя використовується при розкритті невизначеності типу .
Приклад 12
Знайти границю:
Розв’язання.
= =
= = = = .
Для розкриття невизначеності типу використовують простий прийом: = .
Приклад 13
Знайти границю:
Розв’язання.
= = = =
4.4. Границі показникових та логарифмічних функції.
Теорема 16
.
Теорема 17
, .
Приклад14
Знайти границю:
Розв’язання.
= = = = =
Приклад 15
Знайти границю:
Розв’язання.
= .
Зауваження. Приклади 14 і 15 дають ще дві еквівалентні нескінченно малі, які доцільно використовувати при обчисленні границь. .
4.5. Границі ірраціональних функцій.
Теорема 18
, .
Приклад 16
Знайти границю: .
Розв’язання. = = = = =
4.6. Границя функції на нескінченності.
Означення 14. Число А називається границею функції , коли , якщо для будь-якого додатного числа існує таке додатне число М, що із нерівності випливає нерівність .
Аналогічно означають границю, коли .
Запишемо поведінку відомих елементарних функцій на нескінченності.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9.
10. Границі тригонометричних функцій на нескінченності не існують.
Теорема 19
=
Приклад 17
Знайти границю: .
Розв’язання.
= (використано теорему 19)
Приклад 18
Знайти границю: .
Розв’язання.
= (використано теорему 19)
Приклад 19
Знайти границю:
Розв’язання.
= (використано теорему 19)
ІІІ. Неперервність функцій.
1. Означення неперервності.
Означення 5
Функція називається неперервною в точці , якщо:
функція визначена в точці і деякому її околі;
ця границя дорівнює значенню функції в точці , тобто =
Зауваження 1. З умови неперервності випливає, що = .
Це дає правило граничного переходу під знаком неперервної функції.
Зауваження 2. Умова неперервності може також бути представлена в вигляді:
Ця умова означає, що для неперервної в точці функції, границя функції справа в точці дорівнює границі функції зліва в точці і дорівнює значенню функції в цій точці.